Enunciado

La trayectoria de una partícula viene dada por la ley horaria

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\,\vec{\imath} + \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\,\vec{\jmath} }

Determina la velocidad y aceleración de la partícula, los vectores del triedro intrínseco, así como la ecuación de la trayectoria. Calcula también las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración ¿Cual es la expresión de un desplazamiento elemental Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r}} ? ¿Cuánto tiempo emplea en llegar al punto medio de la trayectoria?. ¿Y al punto final? Describe cualitativamente la evolución temporal de la posición de la partícula.

Solución

El vector velocidad se obtiene derivando respecto al tiempo el vector de posición. Como viene dado en una base cartesiana, tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t) = \frac{\displaystyle\mathrm{d}\vec{r}}{\displaystyle\mathrm{d}t} = \dot{\vec{r}}(t) = \dot{x}(t)\,\vec{\imath}+\dot{y}(t)\,\vec{\jmath}= -\dfrac{4AT^2t}{(T^2+t^2)^2}\vec{\imath}+\dfrac{2AT(T^2-t^2)}{(T^2+t^2)^2}\vec{\jmath} }

Aceleración

La aceleración es a su vez la derivada respecto al tiempo del vector velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t) = \dot{v}_x(t)\,\vec{\imath}+ \dot{v}_y(t)\,\vec{\jmath} = \ddot{x}(t)\,\vec{\imath} + \ddot{y}(t)\,\vec{\jmath}= -\dfrac{4AT^2(T^2-3t^2)}{(T^2+t^2)^3}\vec{\imath}- \dfrac{4ATt(3T^2-t^2)}{(T^2+t^2)^3}\vec{\jmath} }

La aceleración tangencial es la proyección de la aceleración sobre la dirección tangente, es decir, la del vector velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_T=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v} = -\dfrac{4ATt}{(T^2+t^2)^2} }

La aceleración normal se obtiene a partir de la total y la tangencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_N=\sqrt{a^2-a_T^2} = \dfrac{4AT^2}{(T^2+t^2)^2} }

Triedro intrínseco

Una vez conocidas la velocidad y la aceleración podemos calcular el triedro intrínseco. El vector tangente es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T} = \dfrac{\vec{v}}{v} =-\dfrac{2Tt}{T^2+t^2}\vec{\imath} + \dfrac{T^2-t^2}{T^2+t^2}\vec{\jmath} }

donde el módulo de la velocidad es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}|=v = \frac{2AT}{T^2+t^2} }

Obtenemos el vector normal a partir de la aceleración total y tangencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = a_T\vec{T}+a_N\vec{N}\Rightarrow \vec{N}=\dfrac{\vec{a}-a_T\vec{T}}{a_N}= \dfrac{t^2-T^2}{T^2+t^2}\vec{\imath}-\dfrac{2tT}{T^2+t^2}\vec{\jmath} }

El vector binormal es el producto vectorial de estos dos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B} = \vec{T}\times\vec{N} = \vec{k} }

El hecho de que sea constante indica que la trayectoria es plana.

Ecuación de la trayectoria

Para encontrar la ecuación de la trayectoria eliminamos el tiempo en la ley horaria, con el fin de expresar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y,z} en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} . Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\\ \\ y = \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\\ \\ z=0 \end{array} \right. }

El hecho de que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0} implica que la trayectoria está en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle XY} . Observando las ecuaciones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t)} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(t)} vemos que se cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2(t) + y^2(t) = \dfrac{A^2(T^4-2T^2t^2+t^4)}{(T^2+t^2)^2}+ \dfrac{4A^2T^2t^2}{(T^2+t^2)^2}= \dfrac{A^2(T^4+2T^2t^2+t^4)}{(T^2+t^2)^2} = A^2 }

Esta curva es una circunferencia contenida en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle XY} , con centro en el origen y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Sin embargo, si observamos con atención la expresión que da Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(t)} vemos que, como el tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} es siempre positivo, la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(t)} nunca es negativa. Así que en realidad el movimiento de la partícula se circunscribe a la semicircunferencia superior. La ecuación de la trayectoria es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\equiv \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2=A^2 \\ \\ z=0 \\ \\ y\geq0 \end{array} \right. }

La posición inicial de la partícula es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t=0) = A\vec{\imath} }

La velocidad y aceleración iniciales son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t=0) = \frac{2A}{T}\,\vec{\jmath} \qquad\qquad \vec{a}(t=0) = -\frac{4A}{T^2}\,\vec{\imath} }

Es decir, la partícula se desplaza de derecha a izquierda, siguiendo la semicircunferencia, como se indica en el dibujo.

Desplazamiento elemental

El desplazamiento elemental Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r}} se escribe

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{r}=\left( \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d} t} \right)\mathrm{d} t=\vec{v}(t)\mathrm{d} t= -\dfrac{4AT^2t}{(T^2+t^2)^2}\mathrm{d} t\,\vec{\imath}+\dfrac{2AT(T^2-t^2)}{(T^2+t^2)^2}\mathrm{d} t\,\vec{\jmath} }

Distancia recorrida en función del tiempo

El espaciado recorrido por la partícula en un tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} es la suma de los desplazamientos infinitesimales en que dividimos la trayectoria. Si consideramos que el desplazamiento inicial es cero tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) =\int\limits_{t=0}^t|\mathrm{d}\vec{r}|= \int\limits_{t=0}^t|\vec{v}|\mathrm{d} t }

El módulo de la velocidad es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}|(t)=v(t)=\sqrt{v_x^2+v_y^2} = \dfrac{2AT}{T^2+t^2} }

Por tanto, el espacio recorrido en un tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = \int\limits_{t=0}^t\dfrac{2AT}{T^2+t^2}\,\mathrm{d} t= 2A\arctan{(t/T)} }

Tiempo invertido en llegar al punto medio

En el punto medio se tiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(T_m)=0\qquad \qquad y(T_m)=A }

Obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_m} imponiendo la condición para la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} en la ecuación horaria

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(T_m)=A\Rightarrow \dfrac{2TT_m}{T^2+T_m^2}=1\Rightarrow T_m = T }

Podemos calcular cuanto tarda en llegar al punto final de la trayectoria. A partir de la expresión que da el espacio recorrido, en el punto final se tiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(T_f) = A\pi\Rightarrow \dfrac{\pi}{2}=\arctan(T_f/T) \Rightarrow T_f=\infty }

Descripción cualitativa del movimiento

La partícula parte del extremo derecho de la circunferencia y se desplaza a lo largo de ella hacia la izquierda.

En la gráfica se representa el módulo de la velocidad y la aceleración tangencial. El módulo de la velocidad va disminuyendo, y la partícula se mueve cada vez más lentamente según se acerca al extremo izquierdo de la circunferencia. Por eso tarda un tiempo infinito en llegar al punto final.

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