Ecuaciones de curvas (G.I.A.)

Enunciado

Expresa en forma parámetrica e implícita las siguientes curvas

1. El eje $OY$
2. Una circunferencia de radio $a$, contenida en el plano $XY$ y con centro en el origen.
3. Una parábola contenida en el plano $YZ$ y con ecuación $z=y^{2}$.

Solución

Eje OY

Las ecuaciones paramétricas pueden escribirse

${\vec {r}}(\lambda )=\left\{{\begin{array}{l}x=0\\y=\lambda \\z=0\end{array}}\right.\qquad \qquad \lambda \in (-\infty ,+\infty )$

Esta es una posible parametrización. Hay un numero infinito de parametrizaciones válidas. Por ejemplo, también sería válida

${\vec {r}}(\lambda )=\left\{{\begin{array}{l}x=0\\y=\lambda ^{3}\\z=0\end{array}}\right.\qquad \qquad \lambda \in (-\infty ,+\infty )$

o incluso esta otra

${\vec {r}}(\lambda )=\left\{{\begin{array}{l}x=0\\y=\,\mathrm {senh} \,(\lambda )\\z=0\end{array}}\right.\qquad \qquad \lambda \in (-\infty ,+\infty )$

Las tres son válidas pues permiten recorrer todos los puntos de la línea.

En este caso también hay varias ecuaciones implícitas que describen esta curva. Las mas sencillas resultan de describirla como el corte de los planos $XY$ e $YZ$

$C\equiv \left\{{\begin{array}{l}x=0\\z=0\end{array}}\right.$

Circunferencia

Al estar contenida en el plano $XY$ todos los puntos de la curva cumplen $z=0$. Podemos usar como parámetro el ángulo que forma con el eje $OX$ la línea que une el punto $O$ con cada uno de los puntos de la circunferencia. El vector de posición de un punto de la curva es

$C\equiv {\vec {r}}(\theta )=\left\{{\begin{array}{l}x=a\cos \theta \\y=a\,\mathrm {sen} \,\theta \\z=0\end{array}}\right.\qquad \theta \in [0,2\pi )$

Las ecuaciones implícitas pueden escribirse considerando la circunferencia como la intersección entre el plano $XY$ y un cilindro cuyo eje central es el eje $OZ$ y tiene radio $a$. Así

$C\equiv \left\{{\begin{array}{l}z=0\\\\x^{2}+y^{2}-a^{2}=0\end{array}}\right.$

Parábola

Las ecuaciones implícitas vienen dadas por la propia definición de la parábola. Las dos superficies cuya intersección define la parábola son el plano $YZ$ y el paraboloide de revolución $z=x^{2}+y^{2}$. Un paraboloide de revolución es la superficie que se obtiene al hacer girar una parábola alrededor de su eje (la superficie verde de la figura). Cómo se observa en la figura, la intersección de las dos superficies es la parábola descrita en el enunciado.

$C\equiv \left\{{\begin{array}{l}x=0\\\\z-x^{2}-y^{2}=0\end{array}}\right.$

Una posible descripción paramétrica se obtiene escogiendo un parámetro que sea igual a la coordenada $y$. De este modo el vector de posición de un punto de la parábola es

$C\equiv {\vec {r}}(\lambda )=\left\{{\begin{array}{l}x=0\\y=\lambda \\z=\lambda ^{2}\end{array}}\right.\qquad \lambda \in (-\infty ,+\infty )$