Cuestión de cinemática, Noviembre 2011

Enunciado

El mecanismo de la figura consiste en un disco de radio $R$, siempre contenido en el plano vertical $OXY$, que se mueve girando alrededor de un punto de su perímetro que coincide con el origen $O$ del sistema de referencia. El movimiento del disco está descrito por la ley horaria $\theta (t)$ para el ángulo (medido en radianes) que forma el diámetro ${\overline {OD}}$ con la dirección horizontal $OX$. Se considera que el sistema parte de la posición inicial $\theta =0$. En el punto $D$ hay conectada una cuerda flexible e inextensible de longitud $L=\pi R$ que, cuando el disco gira, se va enrollando sobre su contorno, finalizando el proceso cuando $\theta =\pi$. Además, un punto material pesado $P$ hace que el tramo de cuerda no enrollado siempre penda verticalmente.

1. Obtenga la ecuación paramétrica de la trayectoria $\Gamma$.
2. El extremo $D$ del diámetro realiza un movimiento circular uniforme, siendo su aceleración $8R\omega _{0}^{2}$. ¿Cómo es la correspondiente ley horaria para el ángulo $\theta$?
3. Calcule la expresión de la componente intrínseca de la velocidad de la partícula $P$.
4. Aceleración tangencial del punto $P$.
5. Radio de curvatura de la trayectoria de $P$ en el punto de inicial.

Solución

Ecuación paramétrica de la trayectoria

Obtendremos la ecuación paramétrica de la trayectoria $\Gamma$ seguida por el punto $P$, en términos de la variable geométrica que describe el movimiento de rotación del disco alrededor del punto $O$: el ángulo $\theta$. Para ello, descompondremos el radiovector que indica la posición de $P$ respecto de $O$, en la suma de varios segmentos orientados de descripción sencilla:

${\vec {r}}={\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {AP}}$

El segmento orientado ${\overrightarrow {AP}}$ coincide con el tramo de cuerda desenrollada que pende verticalmente. En el sistema de referencia adoptado, la dirección vertical está indicada por el unitario ${\vec {\jmath }}$. Por otra parte, este segmento es tangente al disco en el punto $A$ y, por tanto, perpendicular a la dirección radial ${\overrightarrow {CA}}$ que, en consecuencia, es horizontal y paralela a la ${\vec {\imath }}$. Finalmente, el segmento ${\overrightarrow {OC}}$ es un radio del disco y forma un ángulo $\theta$ con la dirección horizontal $OX$. Se tendrá, por tanto:

${\begin{array}{l}\displaystyle {\overrightarrow {OC}}=R\ (\cos \theta \ {\vec {\imath }}\ +\ \mathrm {sen} \!\ \theta \ {\vec {\jmath }})\\\\{\overrightarrow {CA}}=R\ {\vec {\imath }}\\\\{\overrightarrow {AP}}=-l(\theta )\ {\vec {\jmath }}\end{array}}$

donde $l(\theta )$ es la longitud del tramo de cuerda desenrollado que, obviamente, dependerá de la posición del disco (y, por tanto, del ángulo $\theta$). Concretamente, esta longitud será igual a la longitud total de la cuerda menos la del trozo enrollado en el arco de circunferencia comprendido entre los puntos $D$ y $A$. Obsérvese que el ángulo ${\widehat {ACD}}$ que abarca a dicho arco es también $\theta$, por lo que:

$\displaystyle l(\theta )=L-R\theta =R(\pi -\theta )$

Podemos obtener así la expresión paramétrica de la curva $\Gamma$ en términos del ángulo $\theta$:

${\overrightarrow {OP}}=R\ (\cos \theta \ {\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \!\ \theta {\vec {\jmath }}\ )+R\ [\ {\vec {\imath }}-l(\theta )\ {\vec {\jmath }}\ ]$ ⇒ $\Gamma :{\vec {r}}(\theta )=R\ (1+\cos \theta )\ {\vec {\imath }}\ +R\ (\mathrm {sen} \!\ \theta +\theta -\pi )\ {\vec {\jmath }}$

Ley horaria

Para completar la descripción del movimiento de la partícula $P$ hemos de determinar la ley horaria. Y puesto que la trayectoria se ha descrito en términos del ángulo $\theta$ que forma el diámetro ${\overline {OD}}$ del disco con la horizontal $OX$, lo más inmediato es obtener la ley horaria $\theta (t)$ correspondiente a dicho parámetro geométrico. Para ello, utilizaremos la información dada en el enunciado de que, cuando el sistema se mueve de manera que el disco gira en el plano $OXY$ manteniéndose fijo el punto $O$, el punto del disco diametralmente opuesto, $D$, realiza un movimiento circular uniforme cuya aceleración tiene un valor conocido. Además, obsérvese que la trayectoria de dicho movimiento va a ser una circunferencia (obviamente contenida en el plano $OXY$, con centro en $O$ y ¡radio $2R$! Por tanto, las ecuaciones de movimiento para dicho punto son:

${\overrightarrow {OD}}={\vec {r}}_{D}(t)=2R{\big [}\cos \theta (t)\ {\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \!\ \theta (t)\ {\vec {\jmath }}{\big ]}$

Es decir, la ley horaria de este movimiento circular va a ser, precisamente, la que utilizaremos para describir el movimiento de la partícula $P$.

Como sabemos, si el punto $D$ realiza un movimiento circular, su valocidad y aceleración pueden expresarse en términos del radio-vector posición ${\vec {r}}_{D}(t)$ y de sendos vectores, ${\vec {\omega }}(t)$ (vector rotación instantánea) y ${\vec {\alpha }}(t)$ (su derivada temporal), perpendiculares al plano del movimiento y, en general, variables en el tiempo:

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {v}}_{D}(t)={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{D}\\\\\displaystyle {\vec {a}}_{D}(t)={\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}_{D}+{\vec {\omega }}\times {\big (}{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{D}{\big )}\end{array}}\right\}\quad \mathrm {con} \quad {\vec {\omega }}(t)={\dot {\theta }}(t){\vec {k}}\quad \mathrm {y} \quad {\vec {\alpha }}(t)={\ddot {\theta }}(t){\vec {k}}$

La característica fundamental de movimiento circular uniforme, es que el módulo de la velocidad es constante y, en consecuencia, también debe serlo la velolcidad angular del movimiento, ${\dot {\theta }}(t)$:

$|{\vec {v}}_{D}(t)|=|{\vec {r}}_{D}(t)||{\vec {\omega }}(t)|=2R|{\dot {\theta }}(t)|=v_{D}\mathrm {,} \;\mathrm {cte.} \quad \Longrightarrow {\dot {\theta }}(t)=\omega \mathrm {,} \;\mathrm {cte.}$

En consecuencia, el vector rotación es constante en todo instante, su derivada temporal será nula, y la aceleración del punto $D$ sólo tendrá componente normal:

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {\omega }}(t)=\omega \!\ {\vec {k}}\mathrm {,} \;\mathrm {cte.} \\\\\displaystyle {\vec {\alpha }}(t)={\vec {0}}\end{array}}\right\}\quad \Longrightarrow \quad {\vec {a}}_{D}(t)=\underbrace {{\vec {\alpha }}\times {\vec {r}}_{D}} _{={\vec {0}}}+\ {\vec {\omega }}\times {\big (}{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{D}{\big )}=-|{\vec {\omega }}|^{2}\ {\vec {r}}_{D}=2R\omega ^{2}\ {\vec {N}}$

siendo ${\vec {N}}$ el vector normal a la trayectoria circular seguida por $D$ y que, como sabemos, será un vector unitario cuya dirección y sentido coinciden con las del segmento orientado ${\overrightarrow {DO}}$.

Exigiendo ahora que la aceleración del punto $D$ -¡su componente normal, ya que es la única!- tiene un valor conocido, podemos determinar la ley horaria que buscamos:

$2R\omega ^{2}=2R\ {\dot {\theta }}^{2}(t)=8R\!\ \omega _{0}^{2}\quad \Longrightarrow \quad {\dot {\theta }}(t)=\pm {\sqrt {4\!\ \omega _{0}^{2}}}=\pm 2\!\ \omega _{0}$

En el enunciado se indica que el movimiento se inicia en $\theta =0$ y termina en $\theta =\pi$, por que se tendrá:

${\dot {\theta }}(t)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=2\!\ \omega _{0}\mathrm {,} \;\mathrm {cte.} \quad$   ⇒   $\theta (t)=2\!\ \omega _{0}\!\ t$

Componente intrínseca de la velocidad

Volvamos al movimiento del punto $P$: la expresión parámetrica de la trayectoria obtenida en el primer apartado, junto con la ley horaria que acabamos de determinar, nos proporcionan las ecuaciones del movimiento de dicho movimiento:

$\left.{\begin{array}{r}\displaystyle P(t)\in \Gamma :{\vec {r}}(\theta )=R\ (1+\cos \theta )\ {\vec {\imath }}\ +R\ (\mathrm {sen} \!\ \theta +\theta -\pi )\ {\vec {\jmath }}\\\\\theta (t)=2\!\ \omega _{0}\!\ t\end{array}}\right\}\quad \Longrightarrow \quad {\overrightarrow {OP}}={\vec {r}}{\big [}\theta (t){\big ]}={\vec {r}}(t)$

La derivada temporal de estas ecuaciones de movimiento es la velocidad instantánea que caracteriza el movimiento del punto $P$. Para calcular esta derivada aplicamos la regla de la cadena:

${\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\ {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=R\!\ {\dot {\theta }}(t)\!\ {\big \{}-\mathrm {sen} \!\ \theta (t)\!\ {\vec {\imath }}\ +[\cos \theta (t)+1]\!\ {\vec {\jmath }}\ {\big \}}$

Asumiendo que el sentido de crecimiento del parámetro arco en la trayectoria $\Gamma$ coincide con el del movimiento de la partícula $P$, se tendrá que la componente intrínseca de la velocidad coincide en valor y signo con el módulo de este vector. Por tanto,

$v(t)=|{\vec {v}}(t)|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}=R{\dot {\theta }}\!\ {\sqrt {2\!\ [1+\cos \theta (t)]}}=2R\!\ {\dot {\theta }}\cos {\frac {\theta (t)}{2}}$

donde hemos utilizado la relación trigonométrica:

$\cos ^{2}(\theta /2)={\frac {1+\cos \theta }{2}}$

Finalmente, sustituyendo la expresión de la ley horaria $\theta (t)$ (y su derivada ${\dot {\theta }}=2\omega _{0}$) en la anterior expresión para la componente intrínseca de la velocidad, se obtiene:

$\displaystyle v(t)=4R\!\ \omega _{0}\cos(\omega _{0}t)$

Componente tangencial de la aceleración

La acelaración de la partícula $P$ puede descomponerse en cada instante en la suma vectorial de una componente en la dirección del vector tangente a la trayectoria (aceleración tangencial), y otra componente con la dirección y el sentido del vector normal (aceleración normal):

${\vec {a}}(t)={\vec {a}}_{T}+{\vec {a}}_{N}\quad \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {a}}_{T}(t)={\frac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}\ {\vec {T}}\\\\\displaystyle {\vec {a}}_{N}(t)={\frac {v^{2}(t)}{R_{\kappa }}}\ {\vec {N}}\end{array}}\right.$

Por tanto, el valor que tiene en cada instante la componente tangencial de la aceleración de la partícula $P$ se obtiene derivando la ley horaria para la componente intrínseca de la velocidad, anteriormente calculada:

$\displaystyle a_{T}(t)={\frac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}=-4R\!\ \omega _{0}^{2}\!\ \mathrm {sen} \!\ (\omega _{0}t)$

Radio de curvatura de la trayectoria

Como sabemos, conocidas la velocidad y la aceleración, es posible determinar todas las propiedades de movimiento. En concreto, el producto vectorial de la velocidad por la aceleración, nos permite conocer la componente normal de la aceleración. En el caso de que la componente intrínseca de la velocidad coincida en signo con el módulo de dicho vector, se tendrá

${\vec {v}}\times {\vec {a}}=v(t)a_{N}(t){\vec {B}}\quad \Longrightarrow \quad a_{N}(t)={\frac {v^{2}(t)}{R_{\kappa }}}={\frac {|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}{v(t)}}\quad \Longrightarrow \quad R_{\kappa }={\frac {v^{3}(t)}{|{\vec {v}}\times {\vec {a}}|}}$

Hemos de calcular, por tanto, el vector aceleración instantánea: sustituyendo la expresión de la ley horaria $\theta (t)$ y su derivada en la expresión de la velocidad que obtuvimos en el apartado 2.3,...

${\vec {v}}(t)=2R\!\ \omega _{0}\!\ {\bigg \{}-\mathrm {sen} \!\ (2\omega _{0}t)\!\ {\vec {\imath }}\ +{\big [}\cos(2\omega _{0}t)+1{\big ]}\!\ {\vec {\jmath }}\ {\bigg \}}\quad \Longrightarrow \quad {\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-4R\!\ \omega _{0}^{2}\!\ {\big [}\cos(2\omega _{0}t)\!\ {\vec {\imath }}\ +\mathrm {sen} \!\ (2\omega _{0}t)\!\ {\vec {\jmath }}\ {\big ]}$

Se tendrá, por tanto...

$|{\vec {v}}(t)\times {\vec {a}}(t)|=8R^{2}\!\ \omega _{0}^{3}\!\ {\big [}\mathrm {sen} ^{2}(2\omega _{0}t)+\cos ^{2}(2\omega _{0}t)+\cos(2\omega _{0}t){\big ]}=16R^{2}\!\ \omega _{0}^{3}\!\ \cos ^{2}(\omega _{0}t)\mathrm {,}$

y podemos determinar la expresión del radio de curvatura en un punto de la trayectoria en función del instante de tiempo en que $P$ se halla en dicho punto. O bien, si tenemos en cuenta que la ley horaria $\theta (t)$ permite relacionar cada instante de tiempo con la posición del sistema en dicho instante, podemos obtener la expresión del radio de curvatura en términos del valor del parámetro geométrico $\theta$:

$R_{\kappa }=4R\!\ \cos(\omega _{0}t)=4R\!\ \cos {\frac {\theta }{2}}=R_{\kappa }(\theta )$

En consecuencia, el radio de curvatura de la trayectoria en la posición inicial de la partícula es:

$\displaystyle R_{\kappa }(\theta =0)=4R$