Barras articuladas con barra fija (Nov. 2019)

Enunciado

Una barra delgada de longitud $2{\sqrt {2}}b$ (sólido "0") está articulada en el punto fijo $O$. En el otro extremo de la barra (punto $A$) se articula otra barra (sólido "2") de longitud ${\sqrt {2}}b$. A su vez, el otro extremo de la barra 2 (punto $B$) se articula en un pasador obligado a moverse sobre una barra fija vertical. En todo instante la velocidad del punto $B$ es ${\vec {v}}_{0}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}$, con $v_{0}>0$ y constante. En el instante indicado en la figura las dos barra son perpendiculares y forman un ángulo $\pi /4$ con la barra fija vertical. Todas las preguntas siguientes corresponden a este instante.

1. Determina el vector de posición del punto $B$ es
2. Encuentra gráficamente y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}.
3. Calcula los vectores rotación de los movimientos {21} y {01}.
4. Calcula el vector aceleración del movimiento {21}.

Solución

Vector de posición del punto B

Podemos construir el vector pedido como

${\overrightarrow {OB}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AB}}.$

De la figura, y teniendo en cuenta que los ángulos son $\pi /4$

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA}}=2b\,{\vec {\imath }}_{1}+2b\,{\vec {\jmath }}_{1},\\{\overrightarrow {AB}}=-b\,{\vec {\imath }}_{1}+b\,{\vec {\jmath }}_{1}.\end{array}}$

Por tanto

${\overrightarrow {OB}}=b\,{\vec {\imath }}_{1}+3b\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Posiciones de los C.I.R.s

La figura de la derecha muestra la posición de los tres puntos pedidos.

El punto $O$ de la barra "0" está siempre en el origen. Por tanto

${\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}\Longrightarrow I_{01}\equiv O.$

El punto $A$ pertenece siempre a las dos barras a la vez. Entonces

${\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}\Longrightarrow I_{20}\equiv O.$

El Teorema de los Tres centros nos dice que $I_{21}$, $I_{20}$ y $I_{01}$ están en la misma recta. Por otro lado, el punto $B$ de la barra "2" se mueve siempre sobre la barra vertical fija. Entonces ${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{0}$ es siempre vertical. El punto $I_{21}$ debe estar en la recta perpendicular a ${\vec {v}}_{0}$ trazada por $B$. El corte de estas dos rectas nos da la posición de $I_{21}$,

${\overrightarrow {OI}}_{21}=3b\,{\vec {\imath }}_{1}+3b\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Vectores rotación

Al ser movimientos planos tenemos

${\vec {\omega }}_{21}=\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1},\qquad {\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}_{1},\qquad {\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}}_{1}.$

Movimiento {21}

Tenemos la velocidad absoluta de dos puntos, el $B$ y el $I_{21}$. Usando el Teorema de Chasles tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,B}={\vec {v}}_{21}^{\,I_{21}}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {I_{21}B}}=(\omega _{21}\,{\vec {k}}_{1})\times (-2b\,{\vec {\imath }}_{1})=-2b\omega _{21}\,{\vec {\jmath }}_{1}=v_{0}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Por tanto

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {v_{0}}{2b}}\,{\vec {k}}_{1}.$

Movimiento {01}

Podemos determinar ${\vec {v}}_{01}^{\,A}$ partiendo del punto $O$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA} = (\omega_{01}\,\vec{k}_1)\times(2b\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\vec{\jmath}_1) = -2b\omega_{01}\,\vec{\imath}_1 + 2b\omega_{01}\,\vec{\jmath}_1. }

Por otro lado, a partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos, teniendo en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}} ,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01} \Longrightarrow \vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA} = -\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\imath}_1 +\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\jmath}_1. }

Las dos expresiones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{01}} deben ser iguales. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \dfrac{v_0}{4b}\,\vec{k}_1. }

Movimiento {20}

Por un lado tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}. }

Por otro lado, usando la composición {21} = {20} + {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} \Longrightarrow \vec{\omega}_{20} =\vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -\dfrac{3v_0}{4b}\,\vec{k}_1. }

Aceleraciones angulares

De nuevo, al ser un movimiento plano tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = \alpha_{21}\,\vec{k}_1, \qquad \vec{\alpha}_{20} = \alpha_{20}\,\vec{k}_1, \qquad \vec{\alpha}_{01} = \alpha_{01}\,\vec{k}_1. }

Conocemos tres aceleraciones en el problema

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,A}_{20} = \vec{0}. }

El primer valor se debe a que el enunciado nos dice que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0} es constante. Los otros se deducen de que esos puntos son los C.I.R.s de los movimientos respectivos.

Ahora calculamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,A}_{21}} de dos maneras diferentes, usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} a partir de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y con el Teorema de Coriolis.

A partir de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BA} - |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{BA} = \left(b\alpha_{21} - \dfrac{v_0^2}{4b}\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(b\alpha_{21} + \dfrac{v_0^2}{4b}\right)\,\vec{\jmath}_1 }

Usando el Teorema de Coriolis en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{20} + \vec{a}^{\,A}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{a}^{\,A}_{01} }

Ahora utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} partiendo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,A}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA} - |\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{OA} = \left(-2b\alpha_{01} - \dfrac{v_0^2}{8b}\right)\,\vec{\imath}_1 + \left(2b\alpha_{01} - \dfrac{v_0^2}{8b}\right)\,\vec{\jmath}_1 }

De nuevo, las dos expresiones para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,A}_{21}} deben ser iguales. Obtenemos así dos ecuaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \alpha_{21} + 2\alpha_{01} = v_0^2/8b^2,\\ \alpha_{21} - 2\alpha_{01} = -3v_0^2/8b^2. \end{array} }

Resolviendo obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = -\dfrac{v_0^2}{8b^2}\,\vec{k}_1, \qquad \vec{\alpha}_{01} = \dfrac{v_0^2}{8b^2}. }

Usamos de nuevo la composición {21} = {20} + {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} \Longrightarrow \vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01} = -\dfrac{v_0^2}{4b^2}\,\vec{k}_1. }