Vectores formando un triángulo rectángulo (G.I.C.)

Enunciado

¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?

1. ${\vec {a}}=(-{\vec {\imath }}+4\,{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {b}}=(2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {c}}=(-{\vec {\imath }}-5\,{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad$
2. ${\vec {a}}=(3\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {b}}=(2\,{\vec {\imath }}-3\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {c}}=(5\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad$
3. ${\vec {a}}=({\vec {\imath }}-2\,{\vec {\jmath }}+3\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {b}}=(-2\,{\vec {\imath }}+3\,{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {c}}=(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad$
4. ${\vec {a}}=(3\,{\vec {\jmath }}+3\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {b}}=({\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad {\vec {c}}=(2\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}})\,\mathrm {m} ;\quad$

Solución

La primera condición que debe cumplirse es que la suma de los cuadrados de dos de los vectores sea igual al módulo al cuadrado del tercero. Para cada caso tenemos

${\begin{array}{llll}1)&|{\vec {a}}|^{2}=18\qquad \qquad &|{\vec {b}}|^{2}=6\qquad \qquad &|{\vec {c}}|^{2}=30\\2)&|{\vec {a}}|^{2}=13\qquad \qquad &|{\vec {b}}|^{2}=13\qquad \qquad &|{\vec {c}}|^{2}=26\\3)&|{\vec {a}}|^{2}=14\qquad \qquad &|{\vec {b}}|^{2}=17\qquad \qquad &|{\vec {c}}|^{2}=3\\4)&|{\vec {a}}|^{2}=18\qquad \qquad &|{\vec {b}}|^{2}=9\qquad \qquad &|{\vec {c}}|^{2}=9\end{array}}$

El caso uno no cumple la primera condición, por lo que podemos descartarlo.

La siguiente condición es que los dos vectores de módulo más pequeño sean perpendiculares (serían los dos catetos del triángulo rectángulo). En cada caso tenemos

${\begin{array}{ll}2)&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0\\3)&{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}=0\\4)&{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0\end{array}}$

En los tres casos se cumple la condición.

Por último, hay que imponer que la resta de los dos vectores de módulo más pequeño sea paralela al vector de módulo más grande (puede ser igual o con el signo contrario). Eso es equivalente a exigir que el producto vectorial de la diferencia de los dos vectores más pequeños con el tercer vector sea nulo.

${\begin{array}{ll}2)&({\vec {a}}-{\vec {b}})\times {\vec {c}}=24\,{\vec {\jmath }}\\3)&({\vec {a}}-{\vec {c}})\times {\vec {b}}={\vec {0}}\\4)&({\vec {c}}-{\vec {b}})\times {\vec {a}}=-3\,{\vec {\imath }}-15\,{\vec {\jmath }}+3\,{\vec {k}}\end{array}}$

Vemos que sólo el tercer caso cumple la condición. Esa es la respuesta correcta. Podemos ver que en este caso

${\vec {c}}-{\vec {a}}={\vec {b}}$