Suma y diferencia de vectores (G.I.A.)

Enunciado

El vector ${\vec {a}}$ tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de 36.0$^{\circ }$ con el eje $X$, mientras que el vector ${\vec {b}}$ tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje $X$. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.

Solución

Teoremas del seno y del coseno

El triángulo de la derecha nos sirve para ilustrar los enunciados del teorema del seno y del teorema del coseno.

Teorema del seno: dado un triángulo de lados $a$, $b$, $c$, con ángulos ${\hat {A}}$, ${\hat {B}}$, ${\hat {C}}$, indicados en la figura, se cumple

${\dfrac {a}{\,\mathrm {sen} \,{\hat {A}}}}={\dfrac {b}{\,\mathrm {sen} \,{\hat {B}}}}={\dfrac {c}{\,\mathrm {sen} \,{\hat {C}}}}$

Vemos que relaciona cada lado con el seno del ángulo opuesto a ese lado.

Teorema del coseno: dado el triángulo de la figura, la longitud de un lado se expresa como función de las longitudes de los otros dos lados y del ángulo opuesto como

$\left.{\begin{array}{l}a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\hat {A}}\\b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}\\c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\hat {C}}\end{array}}\right.$

Suma de los vectores

Vamos a hacer la suma gráficamente. Para ello, podemos colocar un vector detrás de otro y unir el punto de partida con el punto final. Como se observa en la figura, obtenemos un triángulo cuyo tercer lado es el vector ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$ que buscamos. De este triangulo conocemos las longitudes de los lados correspondientes a los vectores ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$ y el ángulo $\delta$ que forma el vector ${\vec {a}}$ con el eje $X$. Para determinar gráficamente el vector suma necesitamos calcular su módulo (la longitud del lado del triangulo) y el ángulo que forma con el eje $X$ ($\gamma =\delta +\beta )$.

Usando el teorema del coseno calculamos el módulo del vector ${\vec {c}}$

$c=(a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \delta )^{1/2}$

Una vez conocido $c$ calculamos el ángulo $\beta$ usando el teorema del seno

${\dfrac {c}{\,\mathrm {sen} \,\delta }}={\dfrac {b}{\,\mathrm {sen} \,\beta }}\Longrightarrow \,\mathrm {sen} \,{\beta }={\dfrac {b}{c}}\,\mathrm {sen} \,\delta$

Sustituyendo los valores numéricos dados por el enunciado obtenemos

$\left.{\begin{array}{l}c=(a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \delta )^{1/2}=4.13\\\\\beta =\mathrm {arcsen} \,\left({\dfrac {b}{c}}\,\mathrm {sen} \,\delta \right)=85.0^{\circ }=1.48\,\mathrm {rad} \\\\\gamma =\delta +\beta =121^{\circ }=2.11\,\mathrm {rad} \end{array}}\right.$

Ahora podemos calcular las componentes cartesianas del vector ${\vec {c}}$

${\vec {c}}=c_{x}\,{\vec {\imath }}+c_{y}\,{\vec {\jmath }}=c\,\cos {\gamma }\,{\vec {\imath }}+c\,\,\mathrm {sen} \,\gamma \,{\vec {\jmath }}=-2.13\,{\vec {\imath }}+3.54\,{\vec {\jmath }}$

Vemos que el resultado es compatible con el dibujo que hemos utilizado.

Resta de los vectores

El procedimiento es similar al caso de la suma. La diferencia es que al final del vector ${\vec {a}}$ colocamos el vector $-{\vec {b}}$, como se indica en la figura. Vemos en el dibujo que el ángulo $\theta$ es el suplementario de $\delta$, es decir $\theta =\pi -\delta$ (trabajando en radianes). Como en el apartado anterior, usamos el teorema del coseno para calcular el módulo del vector ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$

$c=\left(a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \theta \right)^{1/2}=\left(a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos(\pi -\delta )\right)^{1/2}=\left(a^{2}+b^{2}+2\,a\,b\,\cos \delta \right)^{1/2}$

Con el teorema del seno calculamos el ángulo $\beta$

${\dfrac {b}{\,\mathrm {sen} \,\beta }}={\dfrac {c}{\,\mathrm {sen} \,\theta }}={\dfrac {c}{\,\mathrm {sen} \,(\pi -\delta )}}={\dfrac {c}{\,\mathrm {sen} \,\delta }}\Longrightarrow \,\mathrm {sen} \,\beta =\left({\dfrac {b}{c}}\right)\,\mathrm {sen} \,\delta$

El ángulo que forma el vector ${\vec {c}}$ con el eje $X$ es $\gamma =\delta -\beta$. Sustituyendo los valores numéricos obtenemos

$\left.{\begin{array}{l}c=\left(a^{2}+b^{2}+2\,a\,b\,\cos \delta \right)^{1/2}=12.4\\\\\beta =\arcsin \left({\dfrac {b}{c}}\,\mathrm {sen} \,\delta \right)=19.4^{\circ }=0.332\,\mathrm {rad} \\\\\gamma =\delta -\beta =16.6^{\circ }=0.290\,\mathrm {rad} \end{array}}\right.$

Las componentes cartesianas del vector resta son

${\vec {c}}=c_{x}\,{\vec {\imath }}+c_{y}\,{\vec {\jmath }}=c\,\cos {\gamma }\,{\vec {\imath }}+c\,\,\mathrm {sen} \,\gamma \,{\vec {\jmath }}=11.9\,{\vec {\imath }}+3.54\,{\vec {\jmath }}$

Resolución usando una base cartesiana

El problema es más fácil de resolver si expresamos los vectores ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$ en la base cartesiana

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {a}}=a\cos \delta \,{\vec {\imath }}+a\,\mathrm {sen} \,\delta \,{\vec {\jmath }}=4.85\,{\vec {\imath }}+3.53\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {b}}=-7\,{\vec {\imath }}\end{array}}\right.$

Los vectores suma y resta son

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {a}}+{\vec {b}}=-2.15\,{\vec {\imath }}+3.53\,{\vec {\jmath }}\\\\{\vec {a}}-{\vec {b}}=11.9\,{\vec {\imath }}+3.53\,{\vec {\jmath }}\end{array}}\right.$