Teoremas del seno y del coseno (G.I.A.)

Enunciado

Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.

Solución

Dado el triángulo de la figura, con lados Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c} y vértices Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , el teorema del seno relaciona la longitud de los lados con los senos de los vértices opuestos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{a}{\,\mathrm{sen}\, \hat{A}} = \frac{b}{\,\mathrm{sen}\, \hat{B}} = \frac{c}{\,\mathrm{sen}\, \hat{C}} }

El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{\hat{A}}\\ \\ b^2 = a^2 + c^2 -2ac\cos{\hat{B}}\\ \\ c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{\hat{C}} \end{array} }

Teorema del coseno

Consideramos los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC}} . Se tiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} }

La longitud del lado es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=|\overrightarrow{BC}|} , por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} a^2& = |\overrightarrow{BC}|^2 = (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 -2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\\ &= b^2 + c^2 - 2 b c \cos{\hat{A}} \end{array} }

pues el ángulo entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}} es precisamente el del vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Rotando los lados se obtienen las otras expresiones.

Teorema del seno

Para demostrar este teorema, utilizamos el producto vectorial de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC}} por si mismo. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BC}=\vec{0}=\overrightarrow{BC}\times(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) \Longrightarrow \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB} }

Si dos vectores son iguales también lo son sus módulos. Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} &|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}|& \\ &|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AC}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = |\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AB}|\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\ &a b \,\mathrm{sen}\,{\hat{C}} = a c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\ & b \,\mathrm{sen}\,{C} = c \,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}&\\ &\frac{\displaystyle b}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{B}}}=\frac{\displaystyle c}{\displaystyle\,\mathrm{sen}\,{\hat{C}}} \end{array} }

De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.

Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{AB}| }