Teoremas del seno y del coseno (G.I.A.)

Enunciado

Usando el álgebra vectorial, demuestre el teorema del seno y el teorema del coseno para triángulos planos.

Solución

Dado el triángulo de la figura, con lados $a$, $b$ y $c$ y vértices $A$, $B$ y $C$, el teorema del seno relaciona la longitud de los lados con los senos de los vértices opuestos:

${\frac {a}{\,\mathrm {sen} \,{\hat {A}}}}={\frac {b}{\,\mathrm {sen} \,{\hat {B}}}}={\frac {c}{\,\mathrm {sen} \,{\hat {C}}}}$

El teorema del coseno relaciona la longitud de un lado con la longitud de los otros dos y el coseno del ángulo opuesto,

${\begin{array}{l}a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\hat {A}}\\\\b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}\\\\c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\hat {C}}\end{array}}$

Teorema del coseno

Consideramos los vectores ${\overrightarrow {AB}}$, ${\overrightarrow {AC}}$ y ${\overrightarrow {BC}}$. Se tiene

${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}$

La longitud del lado es $a=|{\overrightarrow {BC}}|$, por tanto

${\begin{array}{ll}a^{2}&=|{\overrightarrow {BC}}|^{2}=({\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {BC}})^{2}=|{\overrightarrow {AC}}|^{2}+|{\overrightarrow {BC}}|^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}\\&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {\hat {A}}\end{array}}$

pues el ángulo entre ${\overrightarrow {AC}}$ y ${\overrightarrow {AB}}$ es precisamente el del vértice $A$. Rotando los lados se obtienen las otras expresiones.

Teorema del seno

Para demostrar este teorema, utilizamos el producto vectorial de ${\overrightarrow {BC}}$ por si mismo. Tenemos

${\overrightarrow {BC}}\times {\overrightarrow {BC}}={\vec {0}}={\overrightarrow {BC}}\times ({\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}})\Longrightarrow {\overrightarrow {BC}}\times {\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {BC}}\times {\overrightarrow {AB}}$

Si dos vectores son iguales también lo son sus módulos. Entonces

${\begin{array}{lll}&|{\overrightarrow {BC}}\times {\overrightarrow {AC}}|=|{\overrightarrow {BC}}\times {\overrightarrow {AB}}|&\\&|{\overrightarrow {BC}}||{\overrightarrow {AC}}|\,\mathrm {sen} \,{\hat {C}}=|{\overrightarrow {BC}}||{\overrightarrow {AB}}|\,\mathrm {sen} \,{\hat {B}}&\\&ab\,\mathrm {sen} \,{\hat {C}}=ac\,\mathrm {sen} \,{\hat {B}}&\\&b\,\mathrm {sen} \,{C}=c\,\mathrm {sen} \,{\hat {B}}&\\&{\frac {\displaystyle b}{\displaystyle \,\mathrm {sen} \,{\hat {B}}}}={\frac {\displaystyle c}{\displaystyle \,\mathrm {sen} \,{\hat {C}}}}\end{array}}$

De nuevo rotando los vectores se obtiene el cociente que falta.

Se puede llegar al mismo resultado observando que el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del triángulo. Así se llega de nuevo a

$|{\overrightarrow {BC}}\times {\overrightarrow {AC}}|=|{\overrightarrow {BC}}\times {\overrightarrow {AB}}|$