Triángulo de esferas conductoras

Enunciado

Un sistema de conductores está formado por tres esferas metálicas idénticas de radio b, situadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado a ($a>2b$). No hay más conductores ni cargas en el sistema.

Se encuentra experimentalmente que cuando la esfera “1” se encuentra a 10 kV y la “2” y la “3” a tierra, la carga de la propia esfera “1” es de +8 nC, mientras que la de la “2” es de −3 nC.

1. Calcule la energía eléctrica almacenada en el sistema.
2. Dibuje el circuito equivalente y calcule las capacidades de sus condensadores.

Suponga que, sin tocar las esferas 1 y 3, se pasa el interruptor de la esfera 2 a la posición B, de manera que su voltaje pasa a ser de 5kV. Una vez que se llega al equilibrio:

3. ¿Cuál es la nueva carga de cada esfera?
4. ¿Y la energía almacenada?
5. ¿Qué trabajo realiza en el proceso el generador conectado a la esfera 1 y el conectado a la esfera 2?

Energía almacenada

Inicialmente no conocemos la carga del conductor “3” (aunque es fácil de deducir), pero no la necesitamos, porque su voltaje es nulo. La energía almacenada es

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}Q_{1}V_{1}+{\frac {1}{2}}Q_{2}V_{2}+{\frac {1}{2}}Q_{3}V_{3}={\frac {1}{2}}(8\,\mathrm {nC} )(10\,\mathrm {kV} )+{\frac {1}{2}}(-3\,\mathrm {nC} )\cdot 0+{\frac {1}{2}}Q_{3}\cdot 0=40\,\mu \mathrm {J}$

Circuito equivalente

Un sistema de conductores se puede modelar por un sistema de condensadores.

Entre cada para de conductores se stúa un condensador que representa las partes de cada uno que están en influencia total. En este caso, por la simetría del sistema, las capacidades entre cada par de condensadores son idénticas. Llamemos $C_{a}$ a esta capacidad.

Además de estos, se añaden en el modelo otros condensadores que representan la parte de cada conductor que está en influencia con el infinito, que está a tierra. De nuevo, por la simetría del sistema, estos tres condensadores son iguales. Llamemos $C_{b}$ a sus capacidades.

Para completar el circuito, se añaden las fuentes de tensión y los interruptores. Con esto nos queda el circuito de la figura: