Campo eléctrico radial (GIOI)

Enunciado

En una región del espacio el campo eléctrico es radial desde el origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{E}=E(r) \vec{u}_r} , dependiendo de la distancia al centro según la gráfica adjunta. El valor máximo del campo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_0} .

1. ¿Cuánto valen las densidades de carga que producen este campo?
2. ¿Cuánto vale el potencial eléctrico en el origen de coordenadas (tomando como origen de potencial el infinito)?
3. ¿Cuánta energía almacena este sistema?

Densidades de carga

Dado que el campo depende exclusivamente de la distancia al origen, las densidades de carga también van a ser solo función de esta distancia.

Para r > b

Si vamos de fuera a dentro vemos que para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r>b} el campo es nulo. la aplicación de la ley de Gauss a una superficie esférica de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r>b} nos da que la carga encerrada es nula, para todo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r>b} . Esto implica que en toda esta región la densidad de carga es nula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(r)=0\qquad\qquad (r>b)}

En r = b

En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r=b} hay una discontinuidad de salto. Esto quiere decir que a esa distancia hay una densidad de carga superficial, la cual verifica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E(b^+)-E(b^-)=\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0}}

Sustituyendo el valor del campo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma_s = \varepsilon_0(0-E_0)= -\varepsilon_0E_0\qquad\qquad (r=b)}

La carga total almacenada en esta superficie es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_s=4\pi b^2\sigma_s = -4\pi\varepsilon_0 b^2 E_0}

En r < b

En esta región el campo es variable, lo que indica que existe una densidad de carga. Podemos hallar cuanta carga hay desde el centro hasta una distancia r mediante la ley de Gauss

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q(r)=\varepsilon_0 \int_r \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=4\pi\varepsilon_0 r^2 E(r)=\frac{4\pi\varepsilon_0 E_0 r^3}{b}}

Al ser proporcional a r al cubo, esta carga es proporcional al volumen de la esfera de radio radial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q(r)=\frac{3\varepsilon_0E_0}{b}\left(\frac{4\pi}{3}r^3\right)}

Esto nos dice que para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r < R} la densidad volumétrica de carga es uniforme e igual adjunta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=\frac{3\varepsilon_0E_0}{b}\qquad\qquad (r<b)}

Se puede llegar de forma más rigurosa a este resultado empleando el mismo método que en el problema “Campo eléctrico central”.

La carga total almacenada en esta región es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_v=\frac{3\varepsilon_0E_0}{b}\left(\frac{4\pi}{3}b^3\right)=+4\pi\varepsilon_0 b^2 E_0}

Es igual y de signo contrario a la que hay en la superficie, lo que nos da una carga total nula.

Potencial en el origen de coordenadas

Para hallar el potencial eléctrico, lo más sencillo es integrar el campo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_O=-\int_\infty^0 \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\int_\infty^b 0\,\mathrm{d}r -\int_b^0 E_0\frac{r}{b}\mathrm{d}r=\frac{E_0b}{2}}

Energía eléctrica almacenada

Calculamos la energía a partir de su densidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\int \frac{1}{2}\varepsilon_0 |\vec{E}|^2\,\mathrm{d}v}

En este caso solo hay campo (y densidad de energía) en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r < b} , donde vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E_0^2 \left(\frac{r}{b}\right)^2}

Dividimos la esfera en capas concéntricas y nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_\mathrm{e}=\frac{4\pi\varepsilon_0E_0^2}{2b^2}\int_0^b r^4\mathrm{d}r=\frac{2\pi\varepsilon_0E_0^2b^3}{5}}