Partícula con movimiento unidimensional, Noviembre 2016 (G.I.C.)

Enunciado

Una partícula realiza un movimiento unidimensional de modo que, en todo instante, su velocidad es $v=A/x$, siendo $A$ una constante y $x$ la coordenada de la partícula sobre el eje $OX$. En el instante inicial se tiene $x(0)=x_{0}$. Calcula su aceleración y su posición en función del tiempo.

Solución

Como es un movimiento unidimensional podemos trabajar con magnitudes escalares en vez de vectoriales.

Aceleración

La aceleración es la derivada respecto del tiempo de la velocidad. Como la velocidad depende de $x$, que a su vez depende de $t$, tenemos que aplicar la regla de la cadena

$a={\dot {v}}={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\,{\dot {x}}$

Por otro lado

${\dot {x}}=v={\dfrac {A}{x}}$

Por tanto

$a={\dot {v}}=v\,{\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\dfrac {A}{x}}\,{\dfrac {A}{x^{2}}}=-{\dfrac {A^{2}}{x^{3}}}.$

Posición

Por definición tenemos

$v={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x=v\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \mathrm {d} x={\dfrac {A}{x}}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow x\,\mathrm {d} x=A\,\mathrm {d} t$

Integramos, con los límites de integración dados por las condiciones iniciales

$\int \limits _{x_{0}}^{x}x\,\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{t}A\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \left.{\dfrac {1}{2}}x^{2}\right]_{x_{0}}^{x}=\left.At\right]_{0}^{t}$

Finalmente obtenemos

$x={\sqrt {x_{0}^{2}+2At}}.$