Enunciado
Un inventor mantiene que ha desarrollado una máquina térmica que recibe 700 kJ de calor desde un foco térmico a 500 K y produce 300 kJ de trabajo neto transfiriendo el calor sobrante a un foco térmico a 290 K. ¿Es razonable?
Solución
A partir del teorema de Carnot
El rendimiento de la supuesta máquina inventada es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta = \frac{W_\mathrm{out}}{Q_\mathrm{in}} = \frac{300\,\mathrm{kJ}}{700\,\mathrm{kJ}} = \frac{3}{7} = 42.9\%}
De acuerdo con el teorema de Carnot, el rendimiento máximo posible es el de una máquina de Carnot reversible que trabaje entre las dos temperaturas indicadas. Este es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta^\mathrm{rev} = 1-\frac{T_F}{T_C} = 1 - \frac{290\,\mathrm{K}}{500\,\mathrm{K}} = \frac{21}{50} = 42.0\%}
Puesto que el rendimiento alegado es superior al máximo posible, concluimos que la invención es fraudulenta.
A partir de la desigualdad de Clausius
A partir de la variación en la entropía
Otra forma de descartar el invento es calculando la variación en la entropía del universo.
La variación de entropía del universo es la suma de la del sistema más la del ambiente.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_u = \Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}\,}
La variación de la entropía del sistema es nula, por ser la entropía una función de estado y desarrollar la máquina un proceso cíclico.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{sis} = 0\,}
(proceso cíclico)
La variación en el ambiente es doble. Por un lado se reduce la entropía del foco caliente, puesto que se saca calor de él (a una temperatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_C}
), y por otro se aumenta la del foco frío, al que se entrega calor (a una temperatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_F}
).
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{amb}=-\frac{Q_\mathrm{in}}{T_C}+\frac{Q_\mathrm{out}}{T_F}}
(aquí los subíndices in y out se refieren a la máquina; el calor que sale del foco caliente entra en la máquina, por lo que lo etiquetamos como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_\mathrm{in}}
). Sustituyendo los valores
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_C = 500\,\mathrm{K}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_C = Q_\mathrm{in}=700\,\mathrm{kJ}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_F = 290\,\mathrm{K}}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |Q_F| = Q_\mathrm{out}=400\,\mathrm{kJ}}
queda la variación de entropía
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_\mathrm{amb}= -\frac{700\,\mathrm{kJ}}{500\,\mathrm{K}}+\frac{400\,\mathrm{kJ}}{290\,\mathrm{K}}=-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
La variación de entropía del universo será
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta S_u = \Delta S_\mathrm{sis}+\Delta S_\mathrm{amb}=0\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}=-20.7\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}<0}
Este resultado significa que la supuesta máquina reduce la entropía del universo, lo cual es imposible.
