Enunciado
Para conseguir refrigerar a muy bajas temperaturas se colocan dos refrigeradores en serie. El primero, que tiene un Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{R1}}
extrae el calor de la sustancia desde la temperatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_F}
hasta una temperatura intermedia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_M}
. El segundo, que tiene un Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{R2}}
toma el calor desde 
y lo expulsa al ambiente a 
. ¿Cuánto vale el 
del conjunto?
Supongamos el caso particular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{R1}=4}
y 
. Si el segundo refrigerador consume 1 kW de potencia eléctrica, ¿cuánto consume el conjunto? ¿Cuánto calor extrae de la sustancia y cuánto expulsa al ambiente?
Solución
El coeficiente de desempeño de un refrigerador se define como
De aquí obtenemos que el trabajo necesario para hacer funcionar el primer refrigerador es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in1}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}}
El calor de salida de este refrigerador es el de entrada más este trabajo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_\mathrm{out2}=Q_\mathrm{in}+W_\mathrm{in1}=\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}}
Este calor es el que entra en el segundo refrigerador. Para extraerlo se requiere un trabajo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in2}=\frac{Q_\mathrm{in2}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}}
El trabajo necesario para extraer el calor es la suma de los de los dos refrigeradores
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)\right)Q_\mathrm{in}}
Puesto que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}}
llegamos a que el coeficiente de desempeño del conjunto satisface
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\,\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}}
Si sumamos las fracciones obtenemos finalmente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{\mathrm{COP}_\mathrm{R1} \mathrm{COP}_\mathrm{R2}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}+\mathrm{COP}_\mathrm{R2} + 1}}
En el caso particular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{R1}=4}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{R2}=3}
, el coeficiente del conjunto vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{R} = \frac{4\cdot 3}{4+3+1}=1.5}
Puede demostrarse que el coeficiente de desempeño de la asociación es siempre menor que cada uno de ellos por separado y que si uno de los refrigeradores no funciona (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_{\mathrm{R}i}=0}
), la asociación tampoco lo hace.
Para el caso de que el segundo refrigerador consuma 1 kW tenemos que el calor que extrae es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\,\mathrm{kW}=\dot{W}_\mathrm{in2}=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)\dot{Q}_\mathrm{in} = \frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{4}\right)\dot{Q}_\mathrm{in}=\frac{5}{12}\dot{Q}_\mathrm{in} }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{Q}_\mathrm{in} = \frac{12}{5}\,\mathrm{kW}= 2.4\,\mathrm{kW}}
La potencia consumida por el primer refrigerador es entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{W}_\mathrm{in}=\frac{\dot{Q}_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}=\frac{2.4\,\mathrm{kW}}{4}=0.6\,\mathrm{kW}}
La potencia que consume el conjunto vale
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y el flujo de calor al ambiente es
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