Dos refrigeradores en serie

Enunciado

Para conseguir refrigerar a muy bajas temperaturas se colocan dos refrigeradores en serie. El primero, que tiene un $\mathrm {COP} _{\mathrm {R1} }$ extrae el calor de la sustancia desde la temperatura $T_{F}$ hasta una temperatura intermedia $T_{M}$. El segundo, que tiene un $\mathrm {COP} _{\mathrm {R2} }$ toma el calor desde $T_{M}$ y lo expulsa al ambiente a $T_{C}$. ¿Cuánto vale el $\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }$ del conjunto? Supongamos el caso particular $\mathrm {COP} _{\mathrm {R1} }=4$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{R2}=3} . Si el segundo refrigerador consume 1 kW de potencia eléctrica, ¿cuánto consume el conjunto? ¿Cuánto calor extrae de la sustancia y cuánto expulsa al ambiente?

Solución

El coeficiente de desempeño de un refrigerador se define como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{Q_\mathrm{in}}{W_\mathrm{in}}}

De aquí obtenemos que el trabajo necesario para hacer funcionar el primer refrigerador es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in1}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}}

El calor de salida de este refrigerador es el de entrada más este trabajo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_\mathrm{out2}=Q_\mathrm{in}+W_\mathrm{in1}=\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}}

Este calor es el que entra en el segundo refrigerador. Para extraerlo se requiere un trabajo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in2}=\frac{Q_\mathrm{in2}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}}

El trabajo necesario para extraer el calor es la suma de los de los dos refrigeradores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in}=W_\mathrm{in1}+W_\mathrm{in2}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)Q_\mathrm{in}=} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)\right)Q_\mathrm{in}}

Puesto que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in}=\frac{Q_\mathrm{in}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}}

llegamos a que el coeficiente de desempeño del conjunto satisface

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R}}=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}\right)=\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}+\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R2}}\,\frac{1}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}}}

Si sumamos las fracciones obtenemos finalmente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{COP}_\mathrm{R}=\frac{\mathrm{COP}_\mathrm{R1} \mathrm{COP}_\mathrm{R2}}{\mathrm{COP}_\mathrm{R1}+\mathrm{COP}_\mathrm{R2} + 1}}

En el caso particular $\mathrm {COP} _{\mathrm {R1} }=4$ y $\mathrm {COP} _{\mathrm {R2} }=3$, el coeficiente del conjunto vale

$\mathrm {COP} _{\mathrm {R} }={\frac {4\cdot 3}{4+3+1}}=1.5$

Puede demostrarse que el coeficiente de desempeño de la asociación es siempre menor que cada uno de ellos por separado y que si uno de los refrigeradores no funciona ($\mathrm {COP} _{\mathrm {R} i}=0$), la asociación tampoco lo hace.

Para el caso de que el segundo refrigerador consuma 1 kW tenemos que el calor que extrae es

$1\,\mathrm {kW} ={\dot {W}}_{\mathrm {in2} }={\frac {1}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R2} }}}\left(1+{\frac {1}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R1} }}}\right){\dot {Q}}_{\mathrm {in} }={\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {1}{4}}\right){\dot {Q}}_{\mathrm {in} }={\frac {5}{12}}{\dot {Q}}_{\mathrm {in} }$ ${\dot {Q}}_{\mathrm {in} }={\frac {12}{5}}\,\mathrm {kW} =2.4\,\mathrm {kW}$

La potencia consumida por el primer refrigerador es entonces

${\dot {W}}_{\mathrm {in} }={\frac {{\dot {Q}}_{\mathrm {in} }}{\mathrm {COP} _{\mathrm {R1} }}}={\frac {2.4\,\mathrm {kW} }{4}}=0.6\,\mathrm {kW}$

La potencia que consume el conjunto vale

${\dot {W}}_{\mathrm {in} }={\dot {W}}_{\mathrm {in1} }+{\dot {W}}_{\mathrm {in2} }=0.6\,\mathrm {kW} +1.0\,\mathrm {kW} =1.6\,\mathrm {kW}$

y el flujo de calor al ambiente es

${\dot {Q}}_{\mathrm {out2} }={\dot {Q}}_{\mathrm {in} }+{\dot {W}}_{\mathrm {in} }=2.4\,\mathrm {kW} +1.6\mathrm {kW} =4.0\,\mathrm {kW}$