Mezcla de agua y vapor de agua

Enunciado

Se tiene un recipiente cilíndrico de paredes adiabáticas y con pistón móvil también adiabático, inmerso en un ambiente a 300 K y 101.3 kPa de presión. Dentro del recipiente se ponen en contacto 1 kg de agua a 100 ℃ (“subsistema 1”) con 1 m³ de vapor de agua a 200 ℃ (“subsistema 2”). El agua puede considerarse un líquido incompresible de densidad 958.4 kg/m³. El vapor de agua puede suponerse un gas ideal tal que a 100 ℃ y 101.3 kPa tiene una densidad de masa de 0.598 kg/m³. En todo el rango 100 ℃-200 ℃ su calor específico promedio vale $c_{p}=1.850\,\mathrm {kJ} /\mathrm {kg} \cdot \mathrm {K}$. La entalpía específica de vaporización a 100 ℃ y 101.3 kPa vale 2257 kJ/kg.

1. Calcule, para una vez que se ha alcanzado el equilibrio térmico, qué cantidad de agua y de vapor de agua tenemos en el sistema. ¿Cuál es la proporción de la masa de vapor de agua respecto a la masa total (calidad del vapor)?
2. Calcule la variación de energía interna y de entalpía del sistema completo y de cada subsistema en este proceso, así como el trabajo realizado sobre el sistema completo y sobre cada subsistema.

Equilibrio térmico

En este sistema, lo que ocurre es que el vapor se enfría, cediendo calor al agua, que pasa a la forma gaseosa. Sin embargo, de manera análoga a lo que ocurre en el problema “Mezcla de agua y hielo”, puede suceder que todo el agua pase a vapor o que no lo haga.

Por ello, antes de hacer el cálculo del estado final, vamos a ver si en su enfriamiento, el vapor puede proporcionar el calor necesario.

Tenemos 1 kg de agua saturada. Para convertir toda esta agua en vapor saturado necesitamos

$Q_{\mathrm {in} }=m\,\Delta h_{v}=1\,\mathrm {kg} \times 2257\,{\frac {\mathrm {kJ} }{\mathrm {kg} }}=2257\,\mathrm {kJ}$

En el proceso de enfriamiento del vapor de agua hasta 100 ℃, la cantidad de calor que se puede liberar es

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Q_\mathrm{out}=m c_p(T_i-T_f)= \rho_v V_v c_p(T_i-T_f) = 0.598\frac{\mathrm{kg}{\mathrm{m}^3}\times 1\,\mathrm{m}^3\times 1.85\,\mathrm{kJ}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}} (200-100)\,\mathrm{K}=110.6\,\mathrm{kJ}}

Vemos que no se puede evaporar, ni de lejos, toda el agua. Lo que ocurre es que el vapor se enfría, evaporando parcialmente el agua. Cuando el vapor llega a 100\,℃ se alcanza el equilibrio térmico (ya que el agua que se está evaporando sigue a 100 ℃) y el proceso se detiene

La masa que se evapora es

$m_{1}={\frac {Q_{2\mathrm {out} }}{\Delta h_{v}}}=0.049\,\mathrm {kg}$

Como resultado en el estado final tenemos una cantidad de agua

$m_{a}=1000\,\mathrm {g} -49\,\mathrm {g} =951\,\mathrm {g}$

y una cantidad de vapor

$m_{v}=598\,\mathrm {g} +49\,\mathrm {g} =647\,\mathrm {g}$

Por tanto, la calidad del vapor resultante es

$x={\frac {647}{961+647}}=40.4\%$