Ejemplo de movimiento helicoidal (GIE)

Enunciado

El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}}

siendo

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dos vectores constantes. Si la posición inicial es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_0=A\vec{\imath}}

1. Determine la velocidad en cada punto expresada en la base de coordenadas cilíndricas.
2. Determine las ecuaciones horarias Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=\rho(t)} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\theta(t)} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=z(t)} . ¿Cuánto vale el paso de rosca de la hélice, esto es, lo que sube en el tiempo que da una vuelta alrededor del eje?
3. Calcule la aceleración del movimiento, así como sus componentes intrínsecas en cada punto del movimiento.
4. Determine el radio de curvatura de la trayectoria en cualquier instante.

Velocidad

La velocidad en cada punto la obtenemos simplemente sustituyendo en la expresión indicada

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}} es el vector de posición del pájaro, que en coordenadas cilíndricas se expresa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}}

Sustituyendo nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=v_0\vec{k}+\omega_0\vec{k}\times\left(\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}\right)}

La base asociada a las coordenadas cilíndricas forma un triedro ortonormal y dextrógiro, por lo que cumple

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y queda la velocidad

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Vemos que posee una componente acimutal (correspondiente al giro) y una vertical, asociada a la ascensión.

Ecuaciones horarias

Por otra parte, la velocidad de una partícula, expresada en coordenadas cilíndricas, es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho + \rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta+\dot{z}\vec{k}}

Igualando componente a componente, nos quedan las igualdades

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La integración de estas tres ecuaciones es inmediata, ya que cada una de las derivadas es una constante o nula.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho=\rho_0\qquad\theta=\omega_0t + \theta_0\qquad z=v_0t+z_0}

Los valores de las constantes de integración los obtenemos de la posición inicial. sabemos que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} la partícula se encuentra en

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que corresponde a las coordenadas cilíndricas

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por tanto las ecuaciones horarias del movimiento son

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En coordenadas cartesianas, estas ecuaciones horarias quedan

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Aceleración

Vector aceleración

Podemos hallar la aceleración a partir de su expresión en cartesianas

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o la correspondiente en cilíndricas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = (\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}+\ddot{z}\vec{k}}

Para aplicar esta última, hallamos las segundas derivadas,

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y la aceleración se reduce a

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Resulta una aceleración puramente radial y hacia adentro.

Aceleración tangencial

La aceleración que acabamos de hallar es puramente ortogonal a la velocidad, ya que una es radial, mientras que la otra posee solo componentes acimutal y vertical

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-\omega_0^2A\vec{u}_\rho\right)\cdot\left(\omega_0\rho\vec{u}_\theta+v_0\vec{k}\right) = 0}

Por tanto, la aceleración tangencial es nula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = \frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}=0}

Esto nos dice también que el movimiento es uniforme y la celeridad es constante

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Aceleración normal

Si la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal

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y, en forma escalar,

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Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la rapidez, el radio de curvatura es inmediato

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{\omega_0^2A^2+v_0^2}{\omega_0^2A}=A+\frac{v_0^2}{\omega_0^2A}}

Resulta un radio de curvatura mayor que el radio de la hélice (que vale A) ya que una hélice viene a ser un arco circular que se estira verticalmente.