Tensor de inercia de esfera hueca

Enunciado

Sea un sólido en forma de esfera maciza de radio 2b en la que se ha hecho una cavidad también esférica de radio b. La masa total del sólido es m. Determine el tensor de inercia de este sólido respecto al sistema de referencia de la figura.

Momentos de inercia

Para el cálculo de los momentos de inercia y de los productos de inercia, aplicaremos el principio de superposición. Consideramos la esfera hueca como la superposición de dos esferas.

• Una esfera “1”, maciza de radio 2b y centro el origen, con masa $m_{1}$.
• Una esfera “2” maciza de radio b, centro $-b{\vec {\imath }}$ y masa $m_{2}$ (siendo $m_{2}$ negativa).

Para que la superposición de las dos esferas nos de la esfera hueca que tenemos, la masa $m_{2}$ debe anular la masa de la 1 contenida en el hueco. Por ser el radio la mitad, la masa contenida en esta parte es 1/8 de la total. Por tanto

$m_{2}+{\frac {m_{1}}{8}}=0\qquad \Rightarrow \qquad m_{2}=-{\frac {m_{1}}{8}}$

Como por otro lado la masa total es m

$m_{1}+m_{2}=m\qquad \Rightarrow \qquad m_{1}-{\frac {m_{1}}{8}}=m\qquad \Rightarrow \qquad m_{1}={\frac {8}{7}}m$

y

$m_{2}=-{\frac {m}{7}}$

Respecto al eje OX

El eje X pasa por los dos centros. Por tanto

$I_{xx}={\frac {2}{5}}m_{1}R_{1}^{2}+{\frac {2}{5}}m_{2}R_{2}^{2}={\frac {2}{5}}\left({\frac {8m}{7}}\right)(2b)^{2}+{\frac {2}{5}}\left(-{\frac {m}{7}}\right)b^{2}={\frac {62}{35}}mb^{2}$

Respecto al eje OY

El eje OY pasa por el centro de la esfera grande, pero no por el de la pequeña. Para la primera tenemos

$I_{yy1}={\frac {2}{5}}\left({\frac {8m}{7}}\right)(2b)^{2}={\frac {64}{35}}mb^{2}$

Para la segunda aplicamos el teorema de Steiner

$I_{yy2}={\frac {2}{5}}m_{2}R_{2}^{2}+m_{2}R_{2}^{2}={\frac {7}{5}}m_{2}R_{2}^{2}={\frac {7}{5}}\left(-{\frac {m}{7}}\right)b^{2}=-{\frac {7mb^{2}}{35}}$

lo que da en total

$I_{yy}={\frac {64-7}{35}}mb^{2}={\frac {57}{35}}mb^{2}$

Respecto al eje OZ

La posición del sólido respecto al eje OZ es idéntica a respecto al eje OY, por tanto

$I_{zz}={\frac {57}{35}}mb^{2}$

Productos de inercia

El plano XZ es un plano de simetría del sistema. Por tanto el eje OY es un eje principal del sólido. Esto implica que

$I_{xy}=0\qquad \qquad I_{yz}=0$

El plano XY también es de simetría. Por tanto OZ es principal y

$I_{xz}=0\qquad \qquad I_{xz}=0$

Es decir, los tres productos de inercia son nulos y el eje OX también es principal (como corresponde a un sólido de revolución)

Tensor de inercia

Reuniendo los resultados anteriores queda la expresión matricial

${\bar {\bar {I}}}={\frac {mb^{2}}{35}}{\begin{pmatrix}62&0&0\\0&57&0\\0&0&57\end{pmatrix}}$