Péndulo simple (CMR)

Enunciado

Un péndulo simple está formado por una masa m unida a una varilla rígida de longitud $\ell$, unida por su otro extremo a un punto fijo O mediante una articulación esférica. La masa está sometida a la acción del peso.

1. Considere, en primer lugar, el movimiento en un plano vertical. Determine la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la varilla forma con la vertical. ¿Qué puntos de equilibrio existen? ¿Son estables o inestables?
2. Considere el caso de un péndulo cónico, el cual gira con velocidad angular constante ${\dot {\phi }}=\Omega$ alrededor del eje vertical. ¿Cuál debe ser la relación entre Ω y el ángulo con la vertical, θ, para que este movimiento sea posible? ¿Puede conseguirse un movimiento circular sea cual sea Ω?
3. Suponga ahora el movimiento general, en el cual puede cambiar tanto θ como el ángulo $\phi \,$, de giro alrededor del eje vertical. A partir de la 2ª ley de Newton, obtenga las ecuaciones de movimiento para estos dos ángulos. Esto puede hacerse de diferentes maneras:
   1. Empleando coordenadas esféricas.
   2. Empleando un sistema de referencia en rotación alrededor del eje vertical, y empleando las fuerzas ficticias necesarias.
   3. Considerando una composición de movimientos mediante tres sistemas de referencia: uno fijo “1”, uno intermedio “2” que gira alrededor del eje vertical un ángulo φ y uno ligado “3” que gira respecto a un eje horizontal un ángulo θ.
4. Considerando el caso general, con movimiento en las dos coordenadas $\phi \,$ y θ, suponga que con un motor se fuerza a una rotación constante ${\dot {\phi }}=\Omega$. En ese caso, ¿cómo queda la ecuación para θ? ¿Qué puntos de equilibrio hay? ¿Son estables o inestables?

Movimiento plano

El movimiento del péndulo en un plano es el caso clásico. La forma más simple de analizarlo es considerar un sistema de coordenadas polares, en las que

$\rho =\ell \qquad \qquad {\dot {\rho }}=0\qquad \qquad {\ddot {\rho }}=0$

y θ es el ángulo que el hilo forma con la vertical hacia abajo. Esto quiere decir que tomamos el eje OX vertical y hacia abajo y el eje OY horizontal en el plano de movimiento. El eje OZ será también horizontal y perpendicular al plano de movimiento.

La relación entre la base asociada a las coordenadas polares y la de las cartesianas es

$\left\{{\begin{array}{rcl}{\vec {u}}_{\rho }&=&C{\vec {\imath }}+S{\vec {\jmath }}\\{\vec {u}}_{\theta }&=&-S{\vec {\imath }}+C{\vec {\jmath }}\end{array}}\right.\qquad \qquad \left\{{\begin{array}{rcl}{\vec {\imath }}&=&C{\vec {u}}_{\rho }-S{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {\jmath }}&=&S{\vec {u}}_{\rho }+C{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right.$

donde hemos usado la abreviatura, que emplearemos en lo que sigue:

$S=\mathrm {sen} (\theta )\qquad \qquad C=\cos(\theta )$

La segunda ley de Newton nos da, para el movimiento de la masa,

$m{\vec {a}}=m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{T}$

Siendo el primer miembro, en polares,

$m{\vec {a}}=m({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}){\vec {u}}_{\rho }+m(\rho {\ddot {\theta }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}){\vec {u}}_{\theta }=-m\ell {\dot {\theta }}^{2}{\vec {u}}_{\rho }+m\ell {\ddot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }$

el peso

$m{\vec {g}}=mg{\vec {\imath }}=mgC{\vec {u}}_{\rho }-mgS{\vec {u}}_{\theta }$

y la tensión, cuyo módulo es desconocido,

${\vec {F}}_{T}=-F_{T}{\vec {u}}_{\rho }$

Sustituimos e igualamos componente a componente. Queda, para la componente radial

$-m\ell {\dot {\theta }}^{2}=mgC-F_{T}\qquad \Rightarrow \qquad F_{T}=mgC+m\ell {\dot {\theta }}^{2}$

y para la acimutal

$m\ell {\ddot {\theta }}=-mgS\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{\ell }}\mathrm {sen} (\theta )$

Esta última es la conocida como ecuación del péndulo. La ecuación radial nos da la tensión, una vez calculado el ángulo como función del tiempo.

Puntos de equilibrio

Los puntos de equilibrio son aquellos en que si la velocidad inicial es nula, el sistema permanece en estado de reposo.

En este caso, estos son los puntos en que la aceleración angular es nula

${\ddot {\theta }}=0\qquad \Rightarrow \qquad \mathrm {sen} (\theta )=0\qquad \left\{{\begin{matrix}\theta =0\\\theta =\pi \end{matrix}}\right.$

Estos son el punto inferior (el péndulo en su posición normal) y el punto superior (péndulo invertido).

para analizar su estabilidad, consideramos desviaciones pequeñas respecto a estas posiciones de equilibrio.

• Para $\theta _{\mathrm {eq} }=0$ tenemos

$\mathrm {sen} (\theta )\simeq \theta \qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{\ell }}\theta$

Esta es la ecuación de un oscilador armónico. Las soluciones son exponenciales imaginarias, lo que indica que la solución es oscilatoria alrededor de la posición de equilibrio y esta es estable.

• Para $\theta _{\mathrm {eq} }=\pi$ tenemos

$\theta =\pi -\epsilon \qquad \qquad {\ddot {\theta }}=-{\ddot {\epsilon }}\qquad \qquad \mathrm {sen} (\pi -\epsilon )=\mathrm {sen} (\epsilon )\simeq \epsilon$

Lo que da la ecuación de movimiento aproximada

${\ddot {\epsilon }}=+{\frac {g}{\ell }}\epsilon$

Esta ecuación tiene por soluciones exponenciales reales, lo que indica que la masa se aleja exponencialmente de la posición de equilibrio, y esta es inestable.

Movimiento cónico

En el caso del movimiento circular, podemos abordar el problema de diferentes maneras.

Si consideramos un sistema fijo, la masa describe un movimiento acelerado, siendo su aceleración puramente normal y dirigida al centro de la órbita.

Si consideramos un sistema que gira con velocidad angular Ω la partícula se ve inmóvil en este sistema y por tanto se hallará en equilibrio en este sistema no inercial. Esto quiere decir que, si se introducen las fuerzas ficticias, la suma de todas las fuerzas (aplicadas y ficticias) denbe ser nula.

Tomando como punto de referencia el punto O de anclaje del péndulo, de las cuatro fuerzas ficticias:

• la de inercia $-m{\vec {a}}_{2}^{O}1$ es nula por ser O un punto fijo.
• la de aceleración angular es nula, por ser uniforme la rotación.
• la de Coriolis es nula, por estar inmóvil la partícula en el sistema de referencia no inercial.
• la centrífuga es no nula.

Tomando el mismo sistema de ejes que en el apartado anterior queda

${\vec {0}}=mg(C{\vec {u}}_{\vec {\rho }}-S{\vec {u}}_{\theta })-F_{T}{\vec {u}}_{\vec {\rho }}+(m\Omega ^{2}\ell S(S{\vec {u}}_{\vec {\rho }}+S{\vec {u}}_{\theta })$

Separando por componentes

$0=mgC-F_{T}+m\ell \omega ^{2}S^{2}\qquad \qquad 0=-mgS+m\omega ^{2}\ell SC$

De la segunda ecuación llegamos a la relación

$\cos(\theta )={\frac {g}{\Omega ^{2}\ell }}$

que nos dice que para cada velocidad angular mayor que ${\sqrt {g/\ell }}$ existe un ángulo en el que se puede conseguir el equilibrio. A medida que aumenta la velocidad angular el hilo tiende a ponerse horizontal ($\theta \to \pi /2\,$).

La tensión la obtenemos de la ecuación restante

$F_{T}=mgC+m\ell \Omega ^{2}S^{2}={\frac {mg}{C}}$

Caso general

En el caso general, la masa tiene dos grados de libertad, representados por el ángulo θ de inclinación respecto a la vertical y el ángulo $\phi$ de giro alrededor del mismo eje. Buscamos dos ecuaciones que nos den ${\ddot {\theta }}$ y ${\ddot {\phi }}$ en función de las posiciones y velocidades.

Hay diferentes maneras de llegar a estas ecuaciones.

Aquí lo haremos empleando un sistema de referencia no inercial en rotación aplicaremos las leyes de Newton en este sistema, incluyendo las correspondentes fuerzas ficticias.

Por consistencia con los apartados anteriores, consideraremos en el sistema en rotación “2” el eje $OX_{2}$ vertical y hacia abajo, el $OY_{2}$ horizontal en el plano de movimiento y $OZ_{2}$ horizontal perpendicular al plano de movimiento.

Con estos ejes, la velocidad y la aceleración angular del sistema en rotación son

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\phi }}{\vec {\imath }}_{2}\qquad \qquad {\vec {\alpha }}_{21}=-{\ddot {\phi }}{\vec {\imath }}_{2}$

La posición de la partícula, su velocidad y su aceleración, empleando coordenadas polares en el plano giratorio

${\overrightarrow {OP}}=\ell {\vec {u}}_{\rho }\qquad \qquad {\vec {v}}_{32}^{P}=\ell {\dot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }\qquad \qquad {\vec {a}}_{32}^{P}=-\ell {\dot {\theta }}^{2}{\vec {u}}_{\rho }+\ell {\ddot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }$

las fuerzas que actúan en este sistema de referencia sobre la partícula son:

• El peso

$m{\vec {g}}=mg{\vec {\imath }}_{2}=mgC{\vec {u}}_{\rho }-mgS{\vec {u}}_{\theta }$

• La tensión

${\vec {F}}_{T}=-F_{T}{\vec {u}}_{\rho }$

• La fuerza de inercia

${\vec {F}}_{i}=-m{\vec {a}}_{21}^{O}={\vec {0}}$

• La fuerza por aceleración angular

${\vec {F}}_{\alpha }=-m{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {OP}}=m\ell {\ddot {\phi }}{\vec {\imath }}_{2}\times {\vec {u}}_{\rho }=m\ell {\ddot {\phi }}S{\vec {k}}_{2}$

• La fuerza centrífuga

${\vec {F}}_{c}=-m{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times ({\overrightarrow {OP}})=-m\ell {\dot {\phi }}^{2}{\vec {\imath }}_{2}\times ({\vec {\imath }}_{2}\times {\vec {u}}_{\rho })=m\ell S{\dot {\phi }}^{2}{\vec {\jmath }}_{2}=m\ell {\dot {\phi }}^{2}S^{2}{\vec {u}}_{\rho }+m\ell {\dot {\phi }}^{2}SC{\vec {u}}_{\theta }$

• La fuerza de Coriolis

${\vec {F}}_{C}=-2m{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{32}=2m\ell {\dot {\phi }}{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{2}\times {\vec {u}}_{\theta }=2m\ell {\dot {\phi }}{\dot {\theta }}C{\vec {k}}_{2}$

llevamos todo esto a la ecuación de movimiento

$-m\ell {\dot {\theta }}^{2}{\vec {u}}_{\rho }+m\ell {\ddot {\theta }}{\vec {u}}_{\theta }=mg{\vec {\imath }}_{2}-F_{T}{\vec {u}}_{\rho }+m\ell {\ddot {\phi }}S{\vec {k}}_{2}+m\ell S{\dot {\phi }}^{2}{\vec {\jmath }}_{2}+2m\ell {\dot {\phi }}{\dot {\theta }}C{\vec {k}}_{2}$

Proyectamos en cada una de las direcciones y nos queda, en la dirección radial

$-m\ell {\dot {\theta }}^{2}=mgC-F_{T}+m\ell S{\dot {\phi }}^{2}\qquad \Rightarrow \qquad F_{T}=mgC+m({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}S^{2})$

En la acimutal

$m\ell {\ddot {\theta }}=-mgS+m\ell {\dot {\phi ^{2}}}SC$

y en la perpendicular al plano

$m\ell ({\ddot {\phi }}S+2{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}C)=0$

Las dos ecuaciones de movimiento buscadas son, por tanto,

${\ddot {\theta }}=-S\left({\frac {g}{R}}-{\dot {\phi }}^{2}C\right)\qquad \qquad {\ddot {\phi }}=-2{\frac {C}{S}}{\dot {\theta }}{\dot {\phi }}$

Podemos ver que estas ecuaciones continen los dos casos anteriores.

• Si ${\dot {\phi }}=0$ la segunda ecuación queda 0 = 0 y la primera se reduce a la ecuación del péndulo.
• Si ${\dot {\phi }}=\Omega =\mathrm {cte.}$, $\theta =\theta _{0}=\mathrm {cte.}$, se reduce a la solución cónica, con $C=g/R\Omega ^{2}$.

Deducción alternativa del caso general

Empleando tres sistemas de referencia

Movimiento plano

Antes de obtener el caso general, vamos a reobtener el caso más sencillo de movimiento plano, el péndulo simple habitual.

Consideramos dos sistemas de referencia, el “2” y el “3” (el “1” lo reservamos para más adelante).

El sistema “2” tiene su eje ${OZ}_{2}$ vertical y el ${OY}_{2}$ horizontal, de forma que el péndulo oscila en este plano. El eje ${OX}_{2}$ sería perpendicular a ambos y hacia afuera de la pantalla.

El sistema “3” tiene el eje ${OX}_{3}$ común con el “2”, el eje ${OZ}_{3}$ alineado con la varilla del péndulo y el ${OY}_{3}$ perpendicular a los dos anteriores. La relación entre las bases respectivas es

${\begin{array}{rclcrcl}{\vec {\imath }}_{3}&=&{\vec {\imath }}_{2}&\qquad \qquad &{\vec {\imath }}_{2}&=&{\vec {\imath }}_{3}\\{\vec {\jmath }}_{3}&=&C{\vec {\jmath }}_{2}+S{\vec {k}}_{2}&\qquad \qquad &{\vec {\jmath }}_{2}&=&C{\vec {\jmath }}_{3}-S{\vec {k}}_{3}\\{\vec {k}}_{3}&=&-S{\vec {\jmath }}_{2}+C{\vec {k}}_{2}&\qquad \qquad &{\vec {k}}_{2}&=&S{\vec {\jmath }}_{3}+C{\vec {k}}_{3}\end{array}}$

La velocidad angular con la que gira un sistema respecto al otro es

${\vec {\omega }}_{32}={\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{2}={\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{3}$

y la aceleración angular

${\vec {\alpha }}_{32}={\ddot {\theta }}{\vec {\imath }}_{2}={\ddot {\theta }}{\vec {\imath }}_{3}$

Con esta elección de ejes, la posición de la masa es

${\overrightarrow {OP}}=-\ell {\vec {k}}_{3}$

su velocidad

${\vec {v}}_{32}^{P}={\vec {\omega }}_{32}\times {\overrightarrow {OP}}=\left({\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{3}\right)\times \left(-\ell {\vec {k}}_{3}\right)=\ell {\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{3}$

y su aceleración

${\vec {a}}_{32}^{P}={\vec {\alpha }}_{32}\times {\overrightarrow {OP}}+{\vec {\omega }}_{32}\times \left({\vec {\omega }}_{32}\times {\overrightarrow {OP}}\right)=\ell {\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{3}+\ell {\dot {\theta }}^{2}{\vec {k}}_{3}$

Por su parte, las fuerzas que actúan sobre la partícula son el peso y la tensión

$m{\vec {g}}=-mg{\vec {k}}_{2}\qquad \qquad {\vec {F}}_{T}=F_{T}{\vec {k}}_{3}$

La segunda ley de Newton queda entonces

$m\ell {\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{3}+m\ell {\dot {\theta }}^{2}{\vec {k}}_{3}=-mg{\vec {k}}_{2}+F_{T}{\vec {k}}_{3}$

Para eliminar la tensión de los cálculos proyectamos sobre la dirección perpendicular, multiplicando escalarmente por ${\vec {\jmath }}_{3}$ y queda

$m\ell {\ddot {\theta }}=-mg{\vec {k}}_{2}\cdot {\vec {\jmath }}_{3}=-mgS$

con lo que reobtenemos la ecuación del péndulo simple

${\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{\ell }}S=-{\frac {g}{\ell }}\,\mathrm {sen} (\theta )$

Si ahora queremos calcular la tensión proyectamos multiplicando por ${\vec {k}}_{3}$

$m\ell {\dot {\theta }}^{2}=-mgC+F_{T}\qquad \Rightarrow \qquad F_{T}=mg\cos(\theta )+m\ell {\dot {\theta }}^{2}$

Caso general

Para estudiar el caso general introducimos un tercer sistema “1” que consideramos fijo. El sistema 2 gira en torno al eje ${OZ}_{1}={OZ}_{2}$ un ángulo $\phi \,$. El 3 está situado respecto al 2 como en el apartado anterior. Es decir, a la oscilación plana le añadimos una rotación en torno a un eje vertical.

La velocidad angular del movimiento {21} es

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\phi }}{\vec {k}}_{1}={\dot {\phi }}{\vec {k}}_{2}$

y la aceleración angular

${\vec {\alpha }}_{21}={\ddot {\phi }}{\vec {k}}_{1}={\ddot {\phi }}{\vec {k}}_{2}$

El punto P se halla a una distancia $\ell S$ del eje OZ, por lo que su velocidad, en el movimiento {21} es

${\vec {v}}_{21}^{P}=-\ell {\dot {\phi }}S{\vec {\imath }}_{2}$

y su aceleración en este movimiento

${\vec {a}}_{21}^{P}=-\ell {\ddot {\phi }}S{\vec {\imath }}_{2}-\ell S{\dot {\phi }}^{2}{\vec {\jmath }}_{2}$

Por último tenemos el término de Coriolis

$2{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{32}^{P}=2{\dot {\phi }}{\vec {k}}_{2}\times (\ell {\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{3})=-2\ell C{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{2}$

La aceleración de la masa respecto al sistema fijo es entonces

${\vec {a}}_{31}^{P}={\vec {a}}_{32}^{P}+{\vec {a}}_{21}^{P}+2{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{32}^{P}=\ell {\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{3}+\ell {\dot {\theta }}^{2}{\vec {k}}_{3}-\ell {\ddot {\phi }}S{\vec {\imath }}_{2}-\ell S{\dot {\phi }}^{2}{\vec {\jmath }}_{2}-2\ell C{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{2}$

Las fuerzas siguen siendo

$m{\vec {g}}=-mg{\vec {k}}_{2}\qquad \qquad {\vec {F}}_{T}=F_{T}{\vec {k}}_{3}$

Oara ibtener las ecuaciones de movimiento, eliminando la tensión, multiplicamos escalarmente por las dos direcciones ortagonales, ${\vec {\imath }}_{3}$ y ${\vec {\jmath }}_{3}$ (equivalentemente, podemos multiplicar vectorialmente por ${\vec {k}}_{3}$).

Multiplicamos por ${\vec {\imath }}_{3}={\vec {\imath }}_{2}$ y queda

$-m\ell {\ddot {\phi }}S-2m\ell C{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}=0\qquad \Rightarrow \qquad S{\ddot {\phi }}+2C{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}=0$

Multiplicamos por ${\vec {\jmath }}_{3}$ y resulta

$m\ell {\ddot {\theta }}-m\ell SC{\dot {\phi }}^{2}=-mgS$

que es la similar a la ecuación que obtuvimos en el caso plano, pero con un término extra

${\ddot {\theta }}=-S\left({\frac {g}{\ell }}-{\dot {\phi }}^{2}C\right)$