Colapso de una estrealla, Junio 2024 (G.I.C.)

Enunciado

Cuando una estrella agota el combustible que mantiene su proceso interno de fusión nuclear, es incapaz de vencer el efecto de la gravedad e implosiona, disminuyendo su radio. En el caso de una estrella como nuestro Sol al final del proceso queda una enana blanca. Supondremos que durante este proceso la estrella es un sistema aislado, de modo que no hay ninguna fuerza ni momento de fuerza externo actuando sobre ella. Supondremos también que la masa de la estrella no cambia en el proceso, y que su forma es siempre esférica.

1. Calcula el cambio de la velocidad angular de rotación de la estrella en el proceso, y por qué cambia.
2. Supongamos que tenemos una estrella similar a nuestro Sol, de masa $m_{S}=2.00\times 10^{30}\,\mathrm {kg}$ y radio $R_{S}=7.00\times 10^{8}\,\mathrm {m}$. Su período de rotación es de 30 días. Si el radio de la enana blanca final es $R_{b}=7000\,\mathrm {km}$, ¿cuál es su velocidad angular de rotación final? ¿Y el período de rotación?

Dato: El momento de inercia de una esfera maciza de radio $R$ y masa $M$ alrededor de un eje que pase por su centro es $I=2MR^{2}/5$.

Solución

Velocidad de rotación final

Como dice el enunciado, asumimos que durante el proceso de implosión la estrella es un sistema aislado. Entonces, al no haber momento externo de fuerzas, el momento angular de la estrella respecto de su centro de masas se conserva. El momento angular antes de la implosión es

${\vec {L}}_{A}=I_{A}{\vec {\omega }}_{A}={\dfrac {2m_{S}R_{S}^{2}}{5}}{\vec {\omega }}_{A},$

siendo ${\vec {\omega }}_{A}$ el vector de rotación de la estrella, y $I_{A}$ su momento de inercia respecto al eje de rotación. En este caso, el vector rotación y el momento angular son paralelos.

Después de la imposión, el momento angular sería

${\vec {L}}_{B}=I_{B}{\vec {\omega }}_{B}={\dfrac {2m_{S}R_{b}^{2}}{5}}{\vec {\omega }}_{B},$

Como el momento angular se conserva tenemos

${\vec {L}}_{A}={\vec {L}}_{B}\Longrightarrow I_{A}{\vec {\omega }}_{A}=I_{B}{\vec {\omega }}_{B}\Longrightarrow |{\vec {\omega }}_{B}|={\dfrac {I_{A}}{I_{B}}}|{\vec {\omega }}_{A}|\Longrightarrow |{\vec {\omega }}_{B}|={\dfrac {R_{S}^{2}}{R_{b}^{2}}}|{\vec {\omega }}_{A}|.$

Como el radio de la enana blanca final es mas pequeño que el inicial, la estrella rota mas rápido.

Valores numéricos

Con los valores del enunciado, la velocidad angular inicial de rotación de la estrella es

$|{\vec {\omega }}_{A}|={\dfrac {2\pi }{T_{A}}}={\dfrac {2\pi }{30\,\mathrm {dias} }}{\dfrac {1\,\mathrm {dia} }{24\,\mathrm {h} }}{\dfrac {1\,\mathrm {h} }{3600\,\mathrm {s} }}=2.42\times 10^{-6}\,\mathrm {rad/s} .$

La velocidad de rotación final sería

$|{\vec {\omega }}_{B}|={\dfrac {R_{S}^{2}}{R_{b}^{2}}}|{\vec {\omega }}_{A}|=\left({\dfrac {7\times 10^{8}\,\mathrm {m} }{7\times 10^{6}\,\mathrm {m} }}\right)^{2}|{\vec {\omega }}_{A}|=2.42\times 10^{-2}\,\mathrm {rad/s} .$

El período de rotación final sería

$T_{B}={\dfrac {2\pi }{|{\vec {\omega }}_{B}|}}=41.3\,\mathrm {s} .$