Aro articulado en el extremo de una barra (Jun. 2023)

Enunciado

Una barra (sólido "0") homogénea y delgada de longitud $2R$ y masa despreciable está articulada en el punto fijo $O$. La barra está siempre contenida en el plano $OX_{1}Y_{1}$ y rota alrededor del eje fijo $OZ_{1}$. El sistema de ejes $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$ se elige de modo que el eje $OX_{0}$ contenga siempre a la barra. Un aro (sólido "2") de radio $R$ y masa $m$, se articula sobre el extremo $A$ de la barra "0", de modo que puede rotar alrededor del eje $X_{2}$, paralelo en todo momento al eje $OY_{0}$. El sistema de ejes "2" se elige de modo que $Z_{2}$ sea perpendicular al plano del aro y el eje $X_{2}$ sea paralelo al $Y_{0}$. De este modo, el eje $Y_{2}$ contiene siempre al centro del aro y el plano $Y_{2}Z_{2}$ coincide con el plano $X_{0}Z_{0}$ El aro no rota alrededor del eje $Z_{2}$. El sistema está sometido a la acción de la gravedad, como se indica en la figura.

Nota: Utiliza la base vectorial asociada al sólido "0" para hacer todos los cálculos.

• Expresa los vectores de la base del sistema "2" en función de los vectores de la base "0", y los de la base "0" en función de los de la base "2".
• Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21} en el punto $A$.
• Calcula la cantidad de movimiento del aro y el momento angular del aro en su centro de masas.
• Dibuja el diagrama de fuerzas y momentos sobre la barra y el aro.
• Escribe la expresión genérica de las fuerzas y momentos activos y vinculares que actúan sobre cada sólido. ¿Cuántas incógnitas tiene el problema?
• Escribe la expresión vectorial del T.C.M. y el T.M.C. aplicados a los dos sólidos ¿Cuántas ecuaciones pueden obtenerse? (No hay que escribir las ecuaciones)
• Escribe la energía potencial total del sistema "0" + "2".
• ¿Qué integral o integrales primeras del sistema "0" + "2" existen? ¿Por qué? (No hay que escribir las expresiones).

Supondremos a partir de ahora que la función de Lagrange tiene la forma ${\cal {L}}=A{\dot {\phi }}^{2}\operatorname {sen} \phi +B{\dot {\theta }}^{2}+C\cos \theta ,$ siendo $A$, $B$ y $C$ constantes conocidas.

• Aplica el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar las ecuaciones que describen el movimiento de los sólidos si se verifican estas dos ligaduras:

$g_{1}={\dot {\theta }}-\omega _{0}=0,\qquad g_{2}=2{\dot {\phi }}-\omega _{0}=0.$

• En $t=0^{-}$ tenemos $\phi (0)=\pi /4$, $\theta (0)=0$ y ${\dot {\phi }}(0^{-})={\dot {\theta }}(0^{-})=0$. Se aplica una percusión ${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{0}\,({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0})$ en el punto $B$ del aro. Determina el valor de ${\dot {\phi }}(0^{+})$ y ${\dot {\theta }}(0^{+})$. (Las ligaduras del apartado anterior no se aplican en este apartado)

Solución

Bases de los sólidos "2" y "0"

Los vectores de la base "2" son

${\begin{array}{l}{\vec {\imath }}_{2}={\vec {\jmath }}_{0},\\{\vec {\jmath }}_{2}=-\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{0}+\cos \theta \,{\vec {k}}_{0},\\{\vec {k}}_{2}=\cos {\theta }\,{\vec {\imath }}_{0}+\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}_{0}.\end{array}}$

Los vectores de la base "0" son

${\begin{array}{l}{\vec {\imath }}_{0}=-\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{2}+\cos \theta \,{\vec {k}}_{2},\\{\vec {\jmath }}_{0}={\vec {\imath }}_{2},\\{\vec {k}}_{0}=\cos {\theta }\,{\vec {\jmath }}_{2}+\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {k}}_{2}.\end{array}}$

Reducciones cinemáticas

Para el movimiento {01} tenemos que el eje del movimiento coincide con el eje $OZ_{01}$. Por tanto

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0},\qquad {\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}.$

Luego nos hará falta la velocidad ${\vec {v}}_{01}^{\,A}$. Aplicamos la ecuación del campo de velocidades de este movimiento

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{01}^{\,A}&={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}\\&{\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}.\\&{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}=2R{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\&\qquad {\overrightarrow {OA}}=2R\,{\vec {\imath }}_{0}.\end{array}}$

Para el movimiento {20} vemos que el punto $A$ del aro y la barra son siempre el mismo. Además, a partir del dibujo con los ejes "2" y "0", tenemos

${\vec {\omega }}_{20}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0},\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}.$

Para el movimiento {21} usamos las leyes de composición para la combinación {21} = {20} + {01}. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\phi }}\,{\vec {k}}_{0}.\end{array}}$

Cantidad de movimiento y momento angular del aro

La cantidad de movimiento del aro es

${\vec {C}}_{2}=m{\vec {v}}_{21}^{\,G}.$

Utilizamos la reducción cinemática del movimiento {21} en el punto $A$

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,G}&={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=-R{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{0}-R{\dot {\phi }}(2-\mathrm {sen} \theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}-R{\dot {\theta }}\mathrm {sen} \theta \,{\vec {k}}_{0}.\\&{\vec {v}}_{21}^{\,A}=2R{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}.\\&{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=-R{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{0}-R{\dot {\phi }}\mathrm {sen} \theta \,{\vec {\jmath }}_{0}-R{\dot {\theta }}\mathrm {sen} \theta \,{\vec {k}}_{0}.\\&\qquad {\overrightarrow {AG}}=R\,{\vec {\jmath }}_{2}=-R\,\mathrm {sen} \theta \,{\vec {\imath }}_{0}+\cos \theta \,{\vec {k}}_{0}.\end{array}}$

La cantidad de movimiento es

${\vec {C}}_{2}=-mR{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{0}-mR{\dot {\phi }}(2-\mathrm {sen} \theta )\,{\vec {\jmath }}_{0}-mR{\dot {\theta }}\mathrm {sen} \theta \,{\vec {k}}_{0}.$

Para el momento angular, como se pide en el centro de masas del aro, podemos usar la expresión

${\vec {L}}_{G}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}.$

Escribimos el tensor de inercia en la base del sólido "2"

${\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}=I_{0}\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]_{2}$

con

$I_{0}={\dfrac {1}{2}}MR^{2}.$

Para poder hacer el producto escalar tenemos que expresar el vector ${\vec {\omega }}_{21}$ en la base del sólido "2", la misma base en la que está expresado el tensor de inercia. Usando los resultados del primer apartado tenemos

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{2}+{\dot {\phi }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{2}+{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \theta \,{\vec {k}}_{2}.$

Finalmente, el momento angular pedido es

${\vec {L}}_{G}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}=I_{0}\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]_{2}\left[{\begin{array}{c}-{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \end{array}}\right]_{2}=\left[{\begin{array}{c}-I_{0}{\dot {\theta }}\\I_{0}{\dot {\phi }}\cos \theta \\2I_{0}{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \,\theta \end{array}}\right]_{2}$