Dos ventiladores (G.I.A.)

Enunciado

Sobre dos paredes perpendiculares, se han colocado sendos ventiladores planos (sólidos "0" y "2") de orientación fija, ambos a la misma altura, y con sus respectivos centros ($A$ y $B$) equidistantes (distancia $L$) de la esquina (punto $O$). Los dos ventiladores rotan con velocidad angular de módulo constante e igual a $\omega$, con las orientaciones y sentidos dados en la figura. Definido el triedro fijo $OXYZ$ (sólido "1") del esquema, y considerando, como movimiento-problema, el movimiento relativo entre ambos ventiladores (movimiento {20}), determina:

1. Los vectores ${\vec {\omega }}_{20}$ y ${\vec {\alpha }}_{20}$. Los vectores ${\vec {v}}_{20}^{O}$ y ${\vec {a}}_{20}^{O}$.
2. El eje instantáneo de rotación.

"'Nota:"' Se recomienda usar el triedro "1" y su base vectorial para resolver el ejercicio.

Solución

Vectores ${\vec {\omega }}_{20}$ y ${\vec {\alpha }}_{20}$

En este problema se usa el sólido "1", en reposo absoluto, como sólido intermedio. Es decir, usaremos la composición

$\{20\}=\{21\}+\{10\}$

Los datos cinemáticos proporcionados por el enunciado son, expresados en la base del sólido "1",

${\vec {\omega }}_{01}=-\omega \,{\vec {\jmath }}_{1}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{21}=\omega \,{\vec {\imath }}_{1}$

Podemos calcular las aceleraciones angulares derivando en el tiempo, pues los ejes de giro de cada ventilador son permanentes

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}\qquad {\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}$

La velocidad y aceleración angulares pedidas son

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}+{\vec {\omega }}_{10}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=\omega \,({\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})\\\\{\vec {\alpha }}_{20}={\vec {\alpha }}_{21}+{\vec {\alpha }}_{10}+{\vec {\omega }}_{10}\times {\vec {\omega }}_{21}={\vec {\alpha }}_{21}-{\vec {\alpha }}_{01}-{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{21}=-\omega ^{2}\,{\vec {k}}_{1}\end{array}}$

Vectores ${\vec {v}}_{20}^{O}$ y ${\vec {a}}_{20}^{O}$

Vamos a determinar la velocidad y aceleración en cada uno de los movimientos de la composición.

Movimiento {01}

El punto $A$ es un punto fijo de la rotación {01}, pues está en el eje permanente de rotación. Entonces

${\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {a}}_{01}^{A}={\vec {0}}$

A partir de aquí podemos calcular ${\vec {v}}_{01}^{O}$ y ${\vec {a}}_{01}^{O}$

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {AO}}=-L\,{\vec {\imath }}_{1}\\\\{\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {v}}_{01}^{A}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AO}}=-L\omega \,{\vec {k}}_{1}\\\\{\vec {a}}_{01}^{O}={\vec {a}}_{01}^{A}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {AO}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {AO}})=L\omega ^{2}\,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}$

Movimiento {21}

El punto $B$ es un punto fijo de la rotación {21}, pues está en el eje permanente de rotación. Entonces

${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {0}}$

A partir de aquí podemos calcular ${\vec {v}}_{21}^{O}$ y ${\vec {a}}_{21}^{O}$

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {BO}}=-L\,{\vec {\jmath }}_{1}\\\\{\vec {v}}_{21}^{O}={\vec {v}}_{21}^{B}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BO}}=-L\omega \,{\vec {k}}_{1}\\\\{\vec {a}}_{21}^{O}={\vec {a}}_{21}^{B}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {BO}}+{\vec {\omega }}_{21}\times ({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {BO}})=L\omega ^{2}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Ahora podemos calcular los vectores pedidos. Veamos ${\vec {v}}_{20}^{O}$ en primer lugar

${\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {v}}_{21}^{O}+{\vec {v}}_{10}^{O}={\vec {v}}_{21}^{O}-{\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {0}}$

Para la aceleración tenemos

${\vec {a}}_{20}^{O}={\vec {a}}_{21}^{O}+{\vec {a}}_{10}^{O}+2{\vec {\omega }}_{10}\times {\vec {v}}_{21}^{O}$

Aquí hay que tener cuidado, pues en general ${\vec {a}}_{ij}\neq {\vec {a}}_{ji}$, como hemos usado en los casos anteriores. Por ello, vamos a usar la descomposición {21}={20}+{01}

${\begin{array}{c}{\vec {a}}_{21}^{O}={\vec {a}}_{20}^{O}+{\vec {a}}_{01}^{O}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{O}\Rightarrow \\\\{\vec {a}}_{20}^{O}={\vec {a}}_{21}^{O}-{\vec {a}}_{01}^{O}-2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{O}=L\omega ^{2}(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})\end{array}}$

Eje instantáneo de rotación

Como ${\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {0}}$, el punto $O$ esta en el eje. Entonces su ecuación paramétrica es

$\Delta _{\mathrm {EIR} }^{20}\quad \equiv \quad {\overrightarrow {OI}}\,=\lambda \,{\vec {\omega }}_{20}=\lambda \omega ({\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})$