Esfera sobre dos raíles (G.I.A.)

Enunciado

Una esfera de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} (sólido "2"), se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos de radios Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2R} (sólido "1"), situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de la esfera es tal que: i) en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} realiza un movimiento circular uniforme, siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} el módulo de su velocidad. Considerando cómo sólido móvil intermedio (sólido "0") al plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_0Z_0} que contiene en todo instante al centro $C$ de la esfera (ver figura), calcula:

1. Los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
2. Reducciones cinemáticas de dichos movimientos,
3. Para el punto de la esfera en contacto con el carril de mayor diámetro (punto $B$), los vectores ${\vec {v}}_{20}^{B}$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^B}

Solución

Este problema es algo diferente de los anteriores. Los datos cinemáticos que nos dan son las velocidades absolutas de los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , $B</math> y $C</math>. Por un lado la esfera (sólido "2") rueda sin deslizar sobre los carriles (sólido "1"), por tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^B=\vec{0}} . Por otro lado, el centro de la esfera realiza un movimiento circular uniforme, por lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_{21}^C|=v_0} . Usando la base vectorial del sólido "0" que gira con el centro de la esfera, los datos cinemáticos son por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A=\vec{0},\qquad \vec{v}_{21}^B=\vec{0},\qquad \vec{v}_{21}^C=v_0\,\vec{\jmath}_0 }

Además, podemos observar que el sólido "0", que sigue a la esfera en su movimiento, realiza una rotación permanente alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} , de modo que podemos escribir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}_1=\omega_{01}\,\vec{k}_0 }

Dado que tenemos la velocidad del movimiento {21} en tres puntos no alineados, esto nos permite calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}} . En este caso analizaremos primero el movimiento {21} y a partir de él obtendremos la descripción de los otros movimientos.

Movimiento {21}

Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^B=\vec{0}} , el eje instantáneo del movimiento {21} pasa por esos dos puntos, es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{\imath}_0} . Pero entonces también pasa en todo instante por el origen de coordenadas, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} . Podemos decir entonces que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} es un punto fijo en este movimiento, y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{21}^{O_1}=\vec{0} }

Usando la ecuación del campo de velocidades, tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^C=v_o\,\vec{\jmath}_0=\vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1C}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1C} }

Necesitamos el vector geométrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_1C}} . Si nos fijamos en la figura adjunta, observamos que el triángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ABC} es equilátero, pues la distancia entre los raíles es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} , el radio de la esfera. Los tres ángulos son entonces de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi/3} radianes, con lo que podemos calcular la altura del triángulo, que es la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_0} del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} . Obtenemos las coordenadas respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} en la base vectorial del sólido "0"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{c} A(R,0,0)_{0}\qquad B(2R,0,0)_{0}\qquad C(3R/2,\sqrt{3}R/2,0)_{0}\\ \\ \overrightarrow{O_1C}=\dfrac{3R}{2}\,\vec{\imath}_0+\dfrac{\sqrt{3}R}{2}\,\vec{k}_0 \end{array} }

Podemos plantear ahora la ecuación obtenida a partir del campo de velocidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{c} v_0\,\vec{\jmath}_0 = \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1C}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\\omega_{21}&0&0\\3R/2&0&\sqrt{3}R/2 \end{array} \right|=-\omega_{21}\dfrac{\sqrt{3}R}{2}\vec{\jmath}_0\Rightarrow\\ \\ \vec{\omega}_{21}=-\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0 \end{array} }

La reducción del movimiento {21} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{21}=-\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0&\qquad& \vec{v}_{21}^{O_1}=\vec{0}\\ \Delta_{\mathrm{EIR}}\quad\equiv\quad O_1X_0&& \end{array} }

Movimiento {01}

Hemos de calcular la velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}} . El punto $O_1</math> es también un punto fijo en {01}, pues pertenece al eje de giro, entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{01}^{O_1}=\vec{0} }

Por definición, el sólido "0" se mueve de modo que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} esta siempre en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_0Z_0} . Entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} es un punto fijo en el movimiento {20}, y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{20}^C=\vec{0} }

Ahora bien, usando la regla de composición podemos escribir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21}^C =\vec{v}_{20}^C+\vec{v}_{01}^C\Rightarrow\vec{v}_{01}^C=\vec{v}_{21}^C-\vec{v}_{20}^C=v_0\,\vec{\jmath}_0 }

Pero podemos escribir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{01}^C} usando el campo de velocidades del sólido en el movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{c} \vec{v}_{01}^C=\vec{v}_{01}^{O_1}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1C}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\0&0&\omega_{01}\\3R/2&0&\sqrt{3}R/2 \end{array} \right|=\dfrac{3R}{2}\omega_{01}\,\vec{\jmath}_0\Rightarrow\\ \\ \vec{\omega}_{01}=\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0 \end{array} }

La reducción de {01} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{01}=\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0=\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_1&\quad\quad& \vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ \Delta_{\mathrm{EPR}}\quad\equiv\quad O_1Z_1&& \end{array} }

Movimiento {20}

Determinamos la velocidad angular a partir de la composición {20} = {21} + {10}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}+\vec{\omega}_{10}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}= -\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0-\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0 }

El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} pertenece al eje instantáneo de {21} y {01}. Entonces también pertenece al eje del movimiento {20}. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{v}_{21}^{O_1}+\vec{v}_{10}^{O_1}=\vec{v}_{21}^{O_1}-\vec{v}_{01}^{O_1}=\vec{0} }

La reducción en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{20} = -\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\,\vec{\imath}_0-\dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{k}_0 &\qquad& \vec{v}_{20}^{O_1}=\vec{0}\\ &&\\ \Delta_{\mathrm{EIR}}\quad\equiv\quad O_1C\quad\equiv\quad\lambda\,\vec{\omega}_{20} \end{array} }

Vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{20}^B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^B}

Una vez reducido el movimiento {20} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , podemos aplicar la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido para calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{20}^B}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{20}^B = \vec{v}_{20}^C+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CB}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath}_0&\vec{\jmath}_0&\vec{k}_0\\-2v_0/\sqrt{3}R&0&-2v_0/3R\\R/2&0&-\sqrt{3}R/2 \end{array} \right|=-\dfrac{4v_0}{3}\,\vec{\jmath}_0 }

Calculamos la aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^B} aplicando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} y partiendo del punto fijo de este movimiento, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} . Necesitamos el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}} . Podemos obtenerlo derivando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21}=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1= -\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_1 = -\dfrac{2v_0}{\sqrt{3}R}\left(\left.\dfrac{\mathrm{d} \vec{\imath}_0}{\mathrm{d}t}\right|_0+ \vec{\omega}_{01}\times\vec{\imath}_0\right)= -\dfrac{4v_0^2}{3\sqrt{3}R^2}\,\vec{\jmath}_0 }

Con esto podemos calcular el vector pedido

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{21}^B = \vec{a}_{21}^{O_1}+\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{O_1B}+\vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{O_1B})=\dfrac{8v_0^2}{3\sqrt{3}R}\,\vec{k}_0 }

En a figura siguiente se muestran los ejes instantáneos de rotación de los tres movimientos analizados en el problema, así como los dos vectores pedidos.