Campo de un segmento (GIOI)

Enunciado

Calcule el campo eléctrico producido por un segmento rectilíneo de longitud $2a$ cargado uniformemente con una densidad de carga $\lambda _{0}$, en cualquier punto del plano perpendicular al segmento por su punto medio.

Solución

El campo eléctrico creado por una distribución lineal de carga es

${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{L}{\frac {\lambda ({\vec {r}}-{\vec {r}}')\mathrm {d} l'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}$

En nuestro caso, situamos el segmento cargado en el eje OZ y centrado en el origen de coordenadas, de forma que los puntos donde se encuentran las cargas cumplen

${\vec {r}}'=z'{\vec {k}}\qquad \qquad \mathrm {d} {\vec {r}}'=\mathrm {d} z'{\vec {k}}\qquad \qquad \mathrm {d} l'=|\mathrm {d} {\vec {r}}'|=\mathrm {d} z'$

la variable $z'$ irá de $-a$ a $+a$.

Para los puntos donde medimos el campo nos dicen que se trata de un punto del plano central $z=0$

${\vec {r}}=x{\vec {\imath }}+y{\vec {\jmath }}$

No obstante, dado que el sistema tiene simetría de revolución respecto al eje Z podemos considerar simplemente un punto del eje OX y luego generalizar. En este caso

${\vec {r}}=x{\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {r}}-{\vec {r}}'=x{\vec {\imath }}-z'{\vec {k}}\qquad \qquad \left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|={\sqrt {x^{2}+z'^{2}}}$

Llevando esto a la integral nos queda

${\vec {E}}={\frac {\lambda _{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{-a}^{a}{\frac {\left(x{\vec {\imath }}-z'{\vec {k}}\right)\mathrm {d} z'}{(x^{2}+z'^{2})^{3/2}}}$

Esta integral vectorial se descompone en dos integrales escalares. De éstas, la segunda se anula

$\int _{-a}^{a}{\frac {z'\,\mathrm {d} z'}{(x^{2}+z'^{2})^{3/2}}}=0$

por tratarse de una integral de una función impar sobre un intervalo simétrico. Esto nos deja con

${\vec {E}}={\frac {\lambda _{0}x{\vec {\imath }}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{-a}^{a}{\frac {\mathrm {d} z'}{(x^{2}+z'^{2})^{3/2}}}$

Esta integral se resuelve mediante el cambio de variable

$z'=x\,\mathrm {tg} (\alpha )\qquad \Rightarrow \qquad x^{2}+z'^{2}={\frac {x^{2}}{\cos ^{2}(\alpha )}}\qquad \qquad \mathrm {d} z'={\frac {x\,\mathrm {d} \alpha }{\cos ^{2}(\alpha )}}$

Este ángulo posee una interpretación geométrica: es el ángulo de elevación respecto a la horizontal con el que se ve un punto del segmento desde la posición donde queremos hallar el campo. Con este cambio de variable la integral se transforma en

${\vec {E}}={\frac {\lambda _{0}x{\vec {\imath }}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{-\alpha _{0}}^{\alpha _{0}}{\frac {x\,\mathrm {d} \alpha }{\cos ^{2}(\alpha )}}\,{\frac {\cos ^{3}(\alpha )}{x^{3}}}={\frac {\lambda _{0}{\vec {\imath }}}{4\pi \varepsilon _{0}x}}\int _{-\alpha _{0}}^{\alpha _{0}}\cos(\alpha )\mathrm {d} \alpha$

El límite de integración lo da el ángulo de elevación del extremo del segmento

$\mathrm {tg} (\alpha )_{0}={\frac {a}{x}}\qquad \Rightarrow \qquad \mathrm {sen} (\alpha _{0})={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$

Con esto, la expresión para el campo eléctrico queda

${\vec {E}}={\frac {\lambda _{0}\mathrm {sen} (\alpha _{0}){\vec {\imath }}}{2\pi \varepsilon _{0}x}}={\frac {\lambda _{0}a{\vec {\imath }}}{2\pi \varepsilon _{0}x{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}$