Compresión lineal con calor nulo

Enunciado

Una cierta cantidad de aire seco experimenta una compresión cuasiestática A→B que se describe en un diagrama pV con un segmento rectilíneo como el de la figura. Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A=1200\,\mathrm{cm}^3} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A=102\,\mathrm{kPa}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_A=297\,\mathrm{K}} las condiciones iniciales yError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A/V_B=r=3} la relación de compresión.

1. Calcule el trabajo realizado sobre el sistema en el proceso A→B como función de la presión final Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B} y del resto de datos del problema.
2. Halle el valor de la presión final Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B} si en el proceso descrito el calor neto que entra en el sistema es nulo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{A\to B}=0} , es decir, el proceso no es adiabático, sino que el calor que entra iguala al que sale.
3. Halle la temperatura final Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B} en el proceso anterior.

Trabajo

El volumen inicial es de 1.2 L y el final es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B=\frac{V_A}{r}=0.4\,\mathrm{L}}

El trabajo lo podemos calcular como el área de un trapecio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W=-\frac{p_A+p_B}{2}(V_B-V_A)=-\frac{102+p_B}{2}(0-4-1.2)= 40.8+0.4p_B}

con la presión en kilopascales y el trabajo en julios.

Calor

Para hallar el calor necesitamos el primer principio de la termodinámica, pues este proceso ni es a presión constante ni a volumen constante.

Tenemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = nc_v(T_B-T_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}=\frac{0.4p_B-1.2\cdot 102}{0.4}=p_B - 306}

El calor en el proceso es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q=\Delta U - W = p_B-306 - (40.8-0.4p_B) = 0.6p_B-346.8\,}

y esta cantidad se anula para

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = 0.6p_B-346.8 \qquad\Rightarrow\qquad p_B = \frac{346.8}{0.6}=578\,\mathrm{kPa}}

Temperatura

Una vez que tenemos el volumen y la temperatura finales, el calor lo obtenemos de la ley de los gases ideales.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B = T_A\,\frac{p_B}{p_A}\,\frac{V_B}{V_A}=297\,\frac{578}{102}\,\frac{0.4}{1.2}=561\,\mathrm{K}}