Calor y trabajo en un proceso lineal

Enunciado

Considere el caso del problema “Compresión lineal de un gas”, en el que se comprime cuasiestáticamente un gas ideal diatómico que inicialmente se encuentra a presión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A=100\,\mathrm{kPa}} , temperatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_A=300\,\mathrm{K}} y ocupa un volumen $V_{A}=0.01\,\mathrm {m} ^{3}$, según la ley

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p=3p_A-\frac{2p_A}{V_A} V}

La compresión continúa hasta que la presión vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B = 2p_A} .

1. Calcule el trabajo neto realizado sobre el gas, la variación de su energía interna y el calor que entra en el gas durante el proceso.
2. Separando el proceso en dos: uno hasta que alcanza la temperatura máxima y otro de ahí hasta el final, halle W, ΔU y Q en cada uno de los dos subprocesos.

Proceso completo

Trabajo

El proceso puede escribirse en forma numérica como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p = 300 - 20 V\,}

con el volumen en L y la presión en kPa. El estado inicial cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A=100\,\mathrm{kPa}\qquad V_A=10\,\mathrm{L}\qquad T_A=300\,\mathrm{K}}

y el final, tal como se ve en el problema citado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B=200\,\mathrm{kPa}\qquad V_B=5\,\mathrm{L}\qquad T_B=300\,\mathrm{K}}

El proceso se describe mediante un segmento rectilíneo. El área bajo este segmento es el trabajo realizado, que será positivo por tratarse de una compresión. Podemos hallar este trabajo integrando

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W=-\int_A^B p\,\mathrm{d}V = -\int_{10}^5 (300-20V)\mathrm{d}V = -\left.\left(300V - 10 V^2\right)\right|_{10}^5= 750\,\mathrm{J}}

o directamente empleando el área de un trapecio

$W={\frac {p_{A}+p_{B}}{2}}(V_{A}-V_{B})={\frac {200+100}{2}}(10-5)\,\mathrm {J} =750\,\mathrm {J}$

Energía interna

La energía interna de un gas ideal depende solo de la temperatura. En este caso, la temperatura final en es la misma que la inicial, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = nc_v(T_B-T_A)=0\,}

Calor

Obtenemos el calor intercambiado empleando el primer principio de la termodinámica

$Q=\Delta U-W=-750\,\mathrm {J}$

División en dos tramos

Tal como se ve en el problema citado, la temperatura aumenta hasta un máximo y luego vuelve a disminuir. El máximo se alcanza cuando $V_{C}=7.5\,\mathrm {L}$. Para este punto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_C=150\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_C=337.5\,\mathrm{K}}

Dividimos entonces el proceso en dos.

Primer tramo

Entre A y C el trabajo corresponde de nuevo al área de un trapecio:

$W=(pA+pC)/2(VA-VC)={\frac {100+150}{2}}(10-7.5)\,\mathrm {J} =312.5\,\mathrm {J}$

La variación de energía ahora no es nula, pues la temperatura aumenta. Podemos hallar el cambio a partir de las presiones y volúmenes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U= nc_v(T_C-T_A)= \frac{p_CV_C-p_AV_A}{\gamma-1}=\frac{150\cdot 7.5-100\cdot 10}{0.4}=312.5\,\mathrm{J}}

lo que implica que en este tramo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q=\Delta U - W = 312.5\,\mathrm{J}-312.5\,\mathrm{J}=0\,\mathrm{J}}

Vemos que aunque la temperatura se eleva, el cambio se debe a la entrada de trabajo, no de calor.

Segundo tramo

Calculamos el trabajo de la misma manera

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W=(pA+pC)/2(VA-VC) = \frac{150+200}{2}(7.5-5.0)\,\mathrm{J}= 437.5\,\mathrm{J}}

y la variación de la energía es ahora

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U= nc_v(T_B-T_C)= \frac{p_BV_B-p_CV_C}{\gamma-1}=\frac{200\cdot 5.0-150\cdot 7.5}{0.4}=-312.5\,\mathrm{J}}

En este tramo se pierde toda la energía ganada en el tramo anterior.

El calor es ahora

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q=\Delta U - W = -312.5\,\mathrm{J}-437.5\,\mathrm{J}=-750\,\mathrm{J}}

Todo el calor se expulsa en este segundo tramo.

Podíamos haber calculado estos valores simplemente restando los del primer tramo de los del proceso completo.