Enunciado
Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A = 100\,\mathrm{kPa}}
, temperatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_A = 300\,\mathrm{K}}
y
ocupa un volumen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3}
, según la ley
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p = 3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}}
La compresión continúa hasta que la presión vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B = 2p_A}
.
- Calcule la temperatura final del gas. ¿Es este un proceso isotermo?
- Trace la curva que describe el proceso en un diagrama pV.
- ¿Cuál es la temperatura máxima que alcanza el gas? ¿En qué estado la alcanza?
Temperatura final
Si escribimos la ecuación con valores numéricos, con la presión en kPa, la temperatura en K y el volumen en litros tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A=100\qquad V_A = 10\qquad T_A = 300\qquad\qquad p_B = 2p_A = 200}
lo que llevado a la ecuación del proceso da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p = 300 - \frac{200}{10}V = 300 - 20V}
El volumen final corresponde al estado en el que la presión vale 200 kPa
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 200 = 300 - 20V_B \qquad\Rightarrow\qquad V_B = 5\,\mathrm{L}}
Obtenemos la temperatura final a partir de la ecuación de los gases ideales.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{p_AV_A}{T_A} = \frac{p_BV_B}{T_B}\qquad\Rightarrow\qquad T_B=T_A\,\frac{p_B}{p_A}\,\frac{V_B}{V_A}=300\,\frac{200}{100}\,\frac{5}{10}=300\,\mathrm{K}}
Vemos que la temperatura final es la misma que la inicial.
Podríamos pensar que se trata de un proceso isotermo, pero no lo es, ya que la temperatura cambia a lo largo del proceso. No basta con que la temperatura en los extremos sea la misma. Debe ser constante en todo el camino.
Analíticamente tenemos para la temperatura en los estados intermedios
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que no es una constante.
Representación gráfica
Dado que la presión depende del volumen en la forma
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Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = 300\,}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b = -20}
es claro que la gráfica del proceso es un segmento rectilíneo. El punto inicial del segmento es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (10,300)}
y el punto final corresponde a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (5,200)}
Si fuera un proceso isotermo, la curva debería ser una hipérbola. Si trazamos la gráfica del proceso y de las isotermas, vemos que la temperatura inicialmente aumenta y luego disminuye.
Temperatura máxima
Antes hemos calculado la temperatura para cada volumen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = 90V-6V^2\,}
La gráfica de esta función tiene una forma parabólica, con un máximo en algún punto intermedio entre el estado inicial y el final. Hallamos la posición del máximo igualando la derivada a cero.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}=90-12V\qquad\Rightarrow\qquad V = \frac{90}{12}=7.5\,\mathrm{L}}
Este volumen corresponde al punto medio entre el estado inicial y el final. La temperatura en este punto es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_\mathrm{max}=90\cdot 7.5-6\cdot(7.5)^2 = 337.5\,\mathrm{K}}
