Enunciado
En un recipiente con paredes adiabáticas y un émbolo móvil de forma que la presión es constante e igual a 101.3 kPa, se ponen en contacto 1.0 m³ de vapor de agua a 115 °C con 500 g de hielo a −10 °C. Determine la temperatura final del sistema.
Dato: La constante específica de los gases ideales para el vapor de agua vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_m = 461.5\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}}
Solución
Al poner en contacto las dos fases se producirá un flujo de calor desde el vapor al hielo. Uno se irá enfriando a medida que el otro se calienta, quedando el sistema en un estado final en que ambos subsistemas tienen la misma temperatura.
Suponemos de entrada que el estado final será un punto intermedio en el que las dos fases se encuentran en el estado de agua líquida.
Para convertir el hielo en agua a una temperatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T}
es necesario proporcionar un calor
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_1 = m_hc_h(T_f-T_h) + m_h \,\Delta h_f + m_h c_a(T-T_f)}
donde:
- el primer término, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_hc_h(T_f-T_h)}
, representa el calor necesario para llevar el hielo desde su temperatura inicial, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_h}
a la temperatura de fusión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_f}
-
- el segundo término, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_h \,\Delta h_f}
, es el calor preciso para fundir el hielo
- el tercer término, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_h c_a(T-T_f)}
, es el calor que hace falta para elevar la temperatura del agua desde el punto de fusión hasta la temperatura final.
De la misma manera, para el enfriamiento del vapor escribimos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_2 = m_v c_{va}(T_b-T_v)-m_v\,\Delta h_b+m_v c_a(T-T_b)}
siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_b}
la temperatura de ebullición del agua. Los valores numéricos que usaremos para las constantes son, para los calores específicos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_h = 2.11\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{kg}}\qquad\qquad c_a = 4.18\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{kg}}\qquad\qquad c_{va} = 2.09\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{kg}}}
y para las entalpías de cambio de fase
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta h_f = 334\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\qquad\qquad \Delta h_b = 2257\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}}
Las temperaturas que aparecen en las fórmulas anteriores valen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_h = -10\,^\circ\mathrm{C} = 263\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_f = 373\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_b = 373\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_v = 115\,^\circ\mathrm{C}=388\,\mathrm{K}}
La masa de vapor de agua la calculamos a partir de su presión, volumen y temperatura, empleando la expresión específica de la ley de los gases ideales para el vapor de agua
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle pV =mR_mT_v \qquad\Rightarrow\qquad m_v =\frac{pV}{R_mT_v}}
Esto nos da la masa
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_v = \frac{101300\times 1.0}{461.5\times 388}\,\mathrm{g}=566\,\mathrm{g} = 0.566\,\mathrm{kg}}
Con estos datos obtenemos los siguientes calores:
- Calentamiento del hielo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{1a} = m_hc_h(T_f-T_h) =0.5\times 2.11\times(273-263)\,\mathrm{kJ}= 10.6\,\mathrm{kJ}}
- Fusión del hielo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{1b} = m_h\,\Delta h_f = 0.5\times 334\,\mathrm{kJ} = 167\,\mathrm{kJ}}
- Calentamiento del agua fría
- Estando la temperatura expresada en kelvins
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{1c} = m_h\,c_a(T-T_f) = 0.5\times 4.18\times(T-273)\,\mathrm{kJ} = 2.09(T-273)\,\mathrm{kJ}}
- Enfriamiento del vapor
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{2a} = m_v c_{va}(T_b-T_v) = 0.566\times 2.09\times(373-388)\,\mathrm{kJ}=-17.7\,\mathrm{kJ}}
- Licuación del vapor
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{2b} = -m_v\,\Delta h_b = -0.566\times 2257\,\mathrm{kJ} = -1276\,\mathrm{kJ}}
- Enfriamiento del agua caliente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{2c} = m_v\,c_a(T-T_b) = 0.566\times 4.18\times(T-373)\,\mathrm{kJ} = 2.36(T-373)\,\mathrm{kJ}}
Llevando todo esto a la ecuación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_1 + Q_2 =0\,}
nos queda la ecuación para la temperatura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10.6+167+2.09(T-273)-17.7-1276+2.36(T-373)=0\qquad\Rightarrow\qquad T = 577\,\mathrm{K}}
pero este resultado es absurdo. No es posible que la temperatura final del sistema sea mayor que las dos de partida (mucho mayor en este caso) y además incompatible con la hipótesis de que el estado final es agua (que debe estar entre 273 y 373 kelvin).
No es posible, por tanto, que el estado final sea todo agua a una temperatura intermedia.
Lo que ocurre realmente es que, puesto que la entalpía de ebullición del agua es muy elevada, solo con licuar una parte del vapor ya es suficiente para llevar el hielo al estado de agua a 100°C. Una vez ahí, ya se ha alcanzado el equilibrio térmico entre agua a 100°C y vapor de agua a la misma temperatura.
La incógnita entonces es saber cuánta masa de vapor se licúa. El cálculo es ahora
- Calentamiento del hielo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{1a} = m_hc_h(T_f-T_h) =0.5\times2.11\times(273-263)\,\mathrm{kJ}= 10.6\,\mathrm{kJ}}
- Fusión del hielo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{1b} = m_h\,\Delta h_f = 0.5\times 334\,\mathrm{kJ} = 167\,\mathrm{kJ}}
- Calentamiento del agua fría hasta los 100°C
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{1c} = m_h\,c_a(T_b-T_f) = 0.5\times 4.18\times(373-273)\,\mathrm{kJ} = 209\,\mathrm{kJ}}
- Enfriamiento del vapor
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- Licuación parcial del vapor
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y nos queda ahora la ecuación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 10.6+167+209-17.7-2257m=0\qquad\Rightarrow\qquad m = 0.163\,\mathrm{kg} = 163\,\mathrm{g}}
es decir, de los 566 gramos de vapor solo se licúan 163. El resto permanece en estado de vapor. En el estado final tenemos un equilibrio térmico a 100°C en el que hay 663 g en forma de agua y 403 en forma de vapor.
