Mezcla de vapor de agua y hielo

Enunciado

En un recipiente con paredes adiabáticas y un émbolo móvil de forma que la presión es constante e igual a 101.3 kPa, se ponen en contacto 1.0 m³ de vapor de agua a 115 °C con 500 g de hielo a −10 °C. Determine la temperatura final del sistema.

Dato: La constante específica de los gases ideales para el vapor de agua vale $R_{m}=461.5\,\mathrm {J} /\mathrm {kg} \cdot \mathrm {K}$

Solución

Al poner en contacto las dos fases se producirá un flujo de calor desde el vapor al hielo. Uno se irá enfriando a medida que el otro se calienta, quedando el sistema en un estado final en que ambos subsistemas tienen la misma temperatura.

Suponemos de entrada que el estado final será un punto intermedio en el que las dos fases se encuentran en el estado de agua líquida.

Para convertir el hielo en agua a una temperatura $T$ es necesario proporcionar un calor

$Q_{1}=m_{h}c_{h}(T_{f}-T_{h})+m_{h}\,\Delta h_{f}+m_{h}c_{a}(T-T_{f})$

donde:

• el primer término, $m_{h}c_{h}(T_{f}-T_{h})$, representa el calor necesario para llevar el hielo desde su temperatura inicial, $T_{h}$ a la temperatura de fusión $T_{f}$-
• el segundo término, $m_{h}\,\Delta h_{f}$, es el calor preciso para fundir el hielo
• el tercer término, $m_{h}c_{a}(T-T_{f})$, es el calor que hace falta para elevar la temperatura del agua desde el punto de fusión hasta la temperatura final.

De la misma manera, para el enfriamiento del vapor escribimos

$Q_{2}=m_{v}c_{va}(T_{b}-T_{v})-m_{v}\,\Delta h_{b}+m_{v}c_{a}(T-T_{b})$

siendo $T_{b}$ la temperatura de ebullición del agua. Los valores numéricos que usaremos para las constantes son, para los calores específicos

$c_{h}=2.11\,{\frac {\mathrm {kJ} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {kg} }}\qquad \qquad c_{a}=4.18\,{\frac {\mathrm {kJ} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {kg} }}\qquad \qquad c_{va}=2.09\,{\frac {\mathrm {kJ} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {kg} }}$

y para las entalpías de cambio de fase

$\Delta h_{f}=334\,{\frac {\mathrm {kJ} }{\mathrm {kg} }}\qquad \qquad \Delta h_{b}=2257\,{\frac {\mathrm {kJ} }{\mathrm {kg} }}$

Las temperaturas que aparecen en las fórmulas anteriores valen

$T_{h}=-10\,^{\circ }\mathrm {C} =263\,\mathrm {K} \qquad \qquad T_{f}=373\,\mathrm {K} \qquad \qquad T_{b}=373\,\mathrm {K} \qquad \qquad T_{v}=115\,^{\circ }\mathrm {C} =388\,\mathrm {K}$

La masa de vapor de agua la calculamos a partir de su presión, volumen y temperatura, empleando la expresión específica de la ley de los gases ideales para el vapor de agua

$pV=mR_{m}T_{v}\qquad \Rightarrow \qquad m_{v}={\frac {pV}{R_{m}T_{v}}}$

Esto nos da la masa

$m_{v}={\frac {101300\times 1.0}{461.5\times 388}}\,\mathrm {g} =566\,\mathrm {g} =0.566\,\mathrm {kg}$

Con estos datos obtenemos los siguientes calores:

Calentamiento del hielo

$Q_{1a}=m_{h}c_{h}(T_{f}-T_{h})=0.5\times 2.11\times (273-263)\,\mathrm {kJ} =10.6\,\mathrm {kJ}$

Fusión del hielo

$Q_{1b}=m_{h}\,\Delta h_{f}=0.5\times 334\,\mathrm {kJ} =167\,\mathrm {kJ}$

Calentamiento del agua fría

Estando la temperatura expresada en kelvins

$Q_{1c}=m_{h}\,c_{a}(T-T_{f})=0.5\times 4.18\times (T-273)\,\mathrm {kJ} =2.09(T-273)\,\mathrm {kJ}$

Enfriamiento del vapor

$Q_{2a}=m_{v}c_{va}(T_{b}-T_{v})=0.566\times 2.09\times (373-388)\,\mathrm {kJ} =-17.7\,\mathrm {kJ}$

Licuación del vapor

$Q_{2b}=-m_{v}\,\Delta h_{b}=-0.566\times 2257\,\mathrm {kJ} =-1276\,\mathrm {kJ}$

Enfriamiento del agua caliente

$Q_{2c}=m_{v}\,c_{a}(T-T_{b})=0.566\times 4.18\times (T-373)\,\mathrm {kJ} =2.36(T-373)\,\mathrm {kJ}$

Llevando todo esto a la ecuación

$Q_{1}+Q_{2}=0\,$

nos queda la ecuación para la temperatura

$10.6+167+2.09(T-273)-17.7-1276+2.36(T-373)=0\qquad \Rightarrow \qquad T=577\,\mathrm {K}$

pero este resultado es absurdo. No es posible que la temperatura final del sistema sea mayor que las dos de partida (mucho mayor en este caso) y además incompatible con la hipótesis de que el estado final es agua (que debe estar entre 273 y 373 kelvin).

No es posible, por tanto, que el estado final sea todo agua a una temperatura intermedia.

Lo que ocurre realmente es que, puesto que la entalpía de ebullición del agua es muy elevada, solo con licuar una parte del vapor ya es suficiente para llevar el hielo al estado de agua a 100°C. Una vez ahí, ya se ha alcanzado el equilibrio térmico entre agua a 100°C y vapor de agua a la misma temperatura.

La incógnita entonces es saber cuánta masa de vapor se licúa. El cálculo es ahora

Calentamiento del hielo

$Q_{1a}=m_{h}c_{h}(T_{f}-T_{h})=0.5\times 2.11\times (273-263)\,\mathrm {kJ} =10.6\,\mathrm {kJ}$

Fusión del hielo

$Q_{1b}=m_{h}\,\Delta h_{f}=0.5\times 334\,\mathrm {kJ} =167\,\mathrm {kJ}$

Calentamiento del agua fría hasta los 100°C

$Q_{1c}=m_{h}\,c_{a}(T_{b}-T_{f})=0.5\times 4.18\times (373-273)\,\mathrm {kJ} =209\,\mathrm {kJ}$

Enfriamiento del vapor

$Q_{2a}=m_{v}c_{va}(T_{b}-T_{v})=0.566\times 2.09\times (373-388)\,\mathrm {kJ} =-17.7\,\mathrm {kJ}$

Licuación parcial del vapor

$Q_{2b}=-m\,\Delta h_{b}=-2257m\,\mathrm {kJ}$

y nos queda ahora la ecuación

$10.6+167+209-17.7-2257m=0\qquad \Rightarrow \qquad m=0.163\,\mathrm {kg} =163\,\mathrm {g}$

es decir, de los 566 gramos de vapor solo se licúan 163. El resto permanece en estado de vapor. En el estado final tenemos un equilibrio térmico a 100°C en el que hay 663 g en forma de agua y 403 en forma de vapor.