Un cilindro de 100 cm² de sección contiene aire y está cerrado por un émbolo. Inicialmente el aire tiene una temperatura de 27 °C y una presión de 100 kPa, que también es la presión exterior, estando el émbolo a 10 cm del fondo. Entonces se realiza el siguiente proceso cuasiestático
A→B Se atornilla el émbolo y se calienta el aire hasta 327 °C, sumergiéndolo en un baño a esta temperatura.
B→C Se libera el émbolo lentamente, dejando que se expanda el aire hasta que su presión vuelve a ser la inicial. En este proceso el aire se mantiene a la temperatura de 327 °C.
C→A Con el émbolo libre, se enfría gradualmente hasta que la temperatura vuelve a ser la inicial.
Para este proceso:
Halle la presión, volumen y temperatura al final de cada fase del proceso.
Calcule el trabajo en cada fase, así como el trabajo neto total.
Calcule la variación en la energía interna y el calor en cada paso y su variación neta.
Presión, volumen y temperatura
Estado inicial
Inicialmente tenemos que la presión y la temperatura valen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_A=(273+27)\mathrm{K}=300\,\mathrm{K}}
mientras que el volumen es el de un cilindro
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A = S h = (1001\,\mathrm{cm}^2)(10\mathrm{cm}) = 1000\,\mathrm{cm}^3 = 1.00\,\mathrm{L}}
Tras el primer paso
El primer paso ocurre a volumen constante, por estar el pistón atornillado, con lo que el volumen final es el mismo que el inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B = V_A = 1.00\,\mathrm{L}}
La temperatura ha aumentado en 300 K,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B = 600\,\mathrm{K}}
y la presión aumenta en la misma proporción que la temperatura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{p_B}{T_B}=\frac{p_A}{T_A}\qquad\Rightarrow\qquad p_B = \frac{600\,\mathrm{K}}{300\,\mathrm{K}}100\,\mathrm{kPa} = 200\,\mathrm{kPa}}
Tras el segundo paso
En el segundo paso tenemos una expansión isoterma, siendo la temperatura final igual a la que había al final del paso anterior
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_C = T_C = 600\,\mathrm{K}}
mientras que la presión final vuelve a ser la que había al principio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_C = p_A = 100\,\mathrm{kPa}}
El volumen final lo podemos obtener particularizando la ley de los gases ideales para temperatura constante, es decir, aplicando la ley de Boyle
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_CV_C=p_BV_B\qquad\Rightarrow\qquad V_C = \frac{200\,\mathrm{kPa}}{100\,\mathrm{kPa}}1.00\,\mathrm{L} = 2.00\,\mathrm{L}}
Estado final
Por último, dejando el émbolo libre, la temperatura vuelve a ser la inicial, manteniéndose constante la presión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_D = p_C=p_A = 100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad T_D = T_A = 300\,\mathrm{K}}
La ley de los gases ideales se reduce en este caso a la ley de Charles
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{V_D}{T_D}=\frac{V_C}{T_C} \qquad\Rightarrow\qquad V_D = \frac{300\,\mathrm{K}}{600\,\mathrm{K}}2.00\,\mathrm{L} = 1.00\,\mathrm{L}}
Al ser la presión y la temperatura finales iguales a las de partida también lo es el volumen. El estado D es el mismo que el estado A y el proceso es por tanto un ciclo.
Representación gráfica
Gráficamente este proceso se compone de tres tramos:
Un calentamiento a volumen constante, que corresponde a una recta vertical.
Una expansión isoterma, que se representa por un arco de hipérbola.
Una compresión a presión constante, que en la gráfica queda como una recta horizontal.
Trabajo
Podemos hallar el trabajo sobre el gas en cada paso a partir de la evolución de sus variables de estado, si suponemos que todos los procesos son cuasiestáticos.
Calentamiento a volumen constante
Al permanecer constante el volumen, no se realiza trabajo sobre el gas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W^{A\to B} = 0\,}
Expansión isoterma
Cuando la temperatura permanece constante, podemos calcular el trabajo con ayuda de la ley de Boyle. En cualquier punto del camino
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle pV = p_BV_B\qquad\Rightarrow\qquad p = \frac{p_BV_B}{V}}
lo que nos da el trabajo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W^{B\to C}=-\int_B^C p\,\mathrm{d}V = -p_BV_B\int_{V_B}^{V_C}\frac{\mathrm{d}V}{V}=-p_BV_B\ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right)}
En nuestro caso
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W^{B\to C} = -(200\,\mathrm{kPa})(1.00\,\mathrm{L})\ln(2) = -139\,\mathrm{J}}
Compresión isóbara
En el tercer paso, el volumen se reduce a presión constante, lo que da un trabajo equivalente gráficamente al área de un rectángulo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W^{C\to A} = -\int_C^A p\,\mathrm{d} V = -p_A\int_{V_C}^{V_A} = p_A(V_A-V_C) = 100(2.00 - 1.00)\,\mathrm{J} = +100\,\mathrm{J}}
Trabajo neto
El trabajo neto sobre el gas en el ciclo será la suma de los trabajos individuales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -\oint p\,\mathrm{d}V = W^{A\to B}+W^{B\to C}+W^{C\to A}=\left(0 -139+100\right)\mathrm{J}= -39\,\mathrm{J}}
El signo del trabajo nos dice que en realidad es el gas el que realiza el trabajo sobre el ambiente.
Energía y calor
La energía interna de un gas ideal depende solamente de su temperatura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U = U_0 + n c_v T\,}
siendo la capacidad calorífica molar para el aire aproximadamente igual a la de un gas diatómico
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_v =\frac{R}{\gamma-1} = 20.8\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}}
con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma = 1.4}
.
La variación de la energía interna en cualquier proceso es proporcional a la diferencia de temperaturas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = nc_v\,\Delta T}
independientemente de si el proceso es a presión constante, a volumen constante o como sea, por tratarse de una función de estado. También se puede calcular a partir de las presiones y volúmenes como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = \frac{p_fV_f-p_iV_i}{\gamma-1}}
Una vez que calculemos la variación en la energía, podemos hallar el calor que entra en el gas por el primer principio de la termodinámica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q = \Delta U - W\,}
Proceso A→B
Al calentarse el gas aumenta su energía interna
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U^{A\to B} = \frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1} = \frac{5}{2}(p_B-p_A)V_A = \frac{5}{2}(200- 100)(1.00)\,\mathrm{J}=+250\,\mathrm{J}}
Puesto que en este proceso el trabajo es nulo, este aumento en la energía procede exclusivamente del calor
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q^{A\to B} = \Delta U^{A\to B} - \overbrace{W^{A\to B}}^{=0} = +250\,\mathrm{J}}
Este calor se podía haber hallado directamente observando que en un proceso a volumen constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q = nc_v\,\Delta T}
Proceso B→C
En la expansión isoterma la temperatura permanece constante, y por tanto, también lo es la energía interna
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = nc_v\,\Delta T = 0}
Esto quiere decir que el trabajo que realiza el gas se obtiene a base de absorber calor
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q^{B\to C} = \overbrace{\Delta U^{B\to C}}^{=0}-W^{B\to C} = p_BV_B\ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right) = +139\,\mathrm{J}}
Proceso C→A
Por último, en la compresión a presión constante, la temperatura vuelve a su valor inicial, y lo mismo hace la energía interna
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U^{C\to A} = nc_v\,\Delta T = nc_v(T_A-T_B) = -250\,\mathrm{J}}
Obsérvese que aunque el proceso sea a presión constante, en la expresión de la energía aparece Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_v}
.
El calor en este caso vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q^{C\to A} = \Delta U - W^{C\to A}= -250\,\mathrm{J}-100\,\mathrm{J} = -350\,\mathrm{J}}
Al tratarse de un proceso a presión constante, el calor puede también hallarse directamente como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q = nc_p\,\Delta T}
siendo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_p = \frac{\gamma R}{\gamma-1} = 29.1\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}}
Este método nos daría
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q^{C\to A} = \frac{7}{2}\left(nRT_A-nRT_C\right) = \frac{\gamma(p_AV_A-p_CV_C)}{\gamma-1} = \frac{\gamma p_A(V_A-V_C)}{\gamma-1} = \frac{1.4\cdot 100(1.00-2.00)}{0.4}\,\mathrm{J} = -350\,\mathrm{J}}
Nótese que para el calor sí se cambia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_v}
por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_p}
.
Balance
Sumando los tres pasos, obtenemos la variación de energía
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = \Delta U^{A\to B}+ \Delta U^{B\to C}+\Delta U^{C\to A} = 250\,\mathrm{J}+0\,\mathrm{J}-250\,\mathrm{J} = 0\,\mathrm{J}}
que es nula, como corresponde a que el proceso es cíclico y la energía es una función de estado.
Para el calor, en cambio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q = Q^{A\to B}+ Q^{B\to C}+Q^{C\to A} = +250\,\mathrm{J}+139\,\mathrm{J}-350\,\mathrm{J} = +39\,\mathrm{J}}
El resultado neto es que a lo largo del ciclo entran Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 39\,\mathrm{J}}
en forma de calor y sale la misma cantidad en forma de trabajo. Este ciclo describiría un modelo muy simple de máquina térmica.
