Sucesión de tres procesos cuasiestáticos

Enunciado

Un cilindro de 100 cm² de sección contiene aire y está cerrado por un émbolo. Inicialmente el aire tiene una temperatura de 27 °C y una presión de 100 kPa, que también es la presión exterior, estando el émbolo a 10 cm del fondo. Entonces se realiza el siguiente proceso cuasiestático

A→B Se atornilla el émbolo y se calienta el aire hasta 327 °C, sumergiéndolo en un baño a esta temperatura.

B→C Se libera el émbolo lentamente, dejando que se expanda el aire hasta que su presión vuelve a ser la inicial. En este proceso el aire se mantiene a la temperatura de 327 °C.

C→A Con el émbolo libre, se enfría gradualmente hasta que la temperatura vuelve a ser la inicial.

Para este proceso:

1. Halle la presión, volumen y temperatura al final de cada fase del proceso.
2. Calcule el trabajo en cada fase, así como el trabajo neto total.
3. Calcule la variación en la energía interna y el calor en cada paso y su variación neta.

Presión, volumen y temperatura

Estado inicial

Inicialmente tenemos que la presión y la temperatura valen

$p_{A}=100\,\mathrm {kPa} \qquad \qquad T_{A}=(273+27)\mathrm {K} =300\,\mathrm {K}$

mientras que el volumen es el de un cilindro

$V_{A}=Sh=(1001\,\mathrm {cm} ^{2})(10\mathrm {cm} )=1000\,\mathrm {cm} ^{3}=1.00\,\mathrm {L}$

Tras el primer paso

El primer paso ocurre a volumen constante, por estar el pistón atornillado, con lo que el volumen final es el mismo que el inicial

$V_{B}=V_{A}=1.00\,\mathrm {L}$

La temperatura ha aumentado en 300 K,

$T_{B}=600\,\mathrm {K}$

y la presión aumenta en la misma proporción que la temperatura

${\frac {p_{B}}{T_{B}}}={\frac {p_{A}}{T_{A}}}\qquad \Rightarrow \qquad p_{B}={\frac {600\,\mathrm {K} }{300\,\mathrm {K} }}100\,\mathrm {kPa} =200\,\mathrm {kPa}$

Tras el segundo paso

En el segundo paso tenemos una expansión isoterma, siendo la temperatura final igual a la que había al final del paso anterior

$T_{C}=T_{C}=600\,\mathrm {K}$

mientras que la presión final vuelve a ser la que había al principio

$p_{C}=p_{A}=100\,\mathrm {kPa}$

El volumen final lo podemos obtener particularizando la ley de los gases ideales para temperatura constante, es decir, aplicando la ley de Boyle

$p_{C}V_{C}=p_{B}V_{B}\qquad \Rightarrow \qquad V_{C}={\frac {200\,\mathrm {kPa} }{100\,\mathrm {kPa} }}1.00\,\mathrm {L} =2.00\,\mathrm {L}$

Estado final

Por último, dejando el émbolo libre, la temperatura vuelve a ser la inicial, manteniéndose constante la presión

$p_{D}=p_{C}=p_{A}=100\,\mathrm {kPa} \qquad \qquad T_{D}=T_{A}=300\,\mathrm {K}$

La ley de los gases ideales se reduce en este caso a la ley de Charles

${\frac {V_{D}}{T_{D}}}={\frac {V_{C}}{T_{C}}}\qquad \Rightarrow \qquad V_{D}={\frac {300\,\mathrm {K} }{600\,\mathrm {K} }}2.00\,\mathrm {L} =1.00\,\mathrm {L}$

Al ser la presión y la temperatura finales iguales a las de partida también lo es el volumen. El estado D es el mismo que el estado A y el proceso es por tanto un ciclo.

Representación gráfica

Gráficamente este proceso se compone de tres tramos:

• Un calentamiento a volumen constante, que corresponde a una recta vertical.
• Una expansión isoterma, que se representa por un arco de hipérbola.
• Una compresión a presión constante, que en la gráfica queda como una recta horizontal.

Trabajo

Podemos hallar el trabajo sobre el gas en cada paso a partir de la evolución de sus variables de estado, si suponemos que todos los procesos son cuasiestáticos.

Calentamiento a volumen constante

Al permanecer constante el volumen, no se realiza trabajo sobre el gas

$W^{A\to B}=0\,$

Expansión isoterma

Cuando la temperatura permanece constante, podemos calcular el trabajo con ayuda de la ley de Boyle. En cualquier punto del camino

$pV=p_{B}V_{B}\qquad \Rightarrow \qquad p={\frac {p_{B}V_{B}}{V}}$

lo que nos da el trabajo

$W^{B\to C}=-\int _{B}^{C}p\,\mathrm {d} V=-p_{B}V_{B}\int _{V_{B}}^{V_{C}}{\frac {\mathrm {d} V}{V}}=-p_{B}V_{B}\ln \left({\frac {V_{C}}{V_{B}}}\right)$

En nuestro caso

$W^{B\to C}=-(200\,\mathrm {kPa} )(1.00\,\mathrm {L} )\ln(2)=-139\,\mathrm {J}$

Compresión isóbara

En el tercer paso, el volumen se reduce a presión constante, lo que da un trabajo equivalente gráficamente al área de un rectángulo

$W^{C\to A}=-\int _{C}^{A}p\,\mathrm {d} V=-p_{A}\int _{V_{C}}^{V_{A}}=p_{A}(V_{A}-V_{C})=100(2.00-1.00)\,\mathrm {J} =+100\,\mathrm {J}$

Trabajo neto

El trabajo neto sobre el gas en el ciclo será la suma de los trabajos individuales

$W=-\oint p\,\mathrm {d} V=W^{A\to B}+W^{B\to C}+W^{C\to A}=\left(0-139+100\right)\mathrm {J} =-39\,\mathrm {J}$

El signo del trabajo nos dice que en realidad es el gas el que realiza el trabajo sobre el ambiente.

Energía y calor

La energía interna de un gas ideal depende solamente de su temperatura

$U=U_{0}+nc_{v}T\,$

siendo la capacidad calorífica molar para el aire aproximadamente igual a la de un gas diatómico

$c_{v}={\frac {R}{\gamma -1}}=20.8{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {mol} }}$

con $\gamma =1.4$.

La variación de la energía interna en cualquier proceso es proporcional a la diferencia de temperaturas

$\Delta U=nc_{v}\,\Delta T$

independientemente de si el proceso es a presión constante, a volumen constante o como sea, por tratarse de una función de estado. También se puede calcular a partir de las presiones y volúmenes como

$\Delta U={\frac {p_{f}V_{f}-p_{i}V_{i}}{\gamma -1}}$

Una vez que calculemos la variación en la energía, podemos hallar el calor que entra en el gas por el primer principio de la termodinámica

$Q=\Delta U-W\,$

Proceso A→B

Al calentarse el gas aumenta su energía interna

$\Delta U^{A\to B}={\frac {p_{B}V_{B}-p_{A}V_{A}}{\gamma -1}}={\frac {5}{2}}(p_{B}-p_{A})V_{A}={\frac {5}{2}}(200-100)(1.00)\,\mathrm {J} =+250\,\mathrm {J}$

Puesto que en este proceso el trabajo es nulo, este aumento en la energía procede exclusivamente del calor

$Q^{A\to B}=\Delta U^{A\to B}-\overbrace {W^{A\to B}} ^{=0}=+250\,\mathrm {J}$

Este calor se podía haber hallado directamente observando que en un proceso a volumen constante

$Q=nc_{v}\,\Delta T$

Proceso B→C

En la expansión isoterma la temperatura permanece constante, y por tanto, también lo es la energía interna

$\Delta U=nc_{v}\,\Delta T=0$

Esto quiere decir que el trabajo que realiza el gas se obtiene a base de absorber calor

$Q^{B\to C}=\overbrace {\Delta U^{B\to C}} ^{=0}-W^{B\to C}=p_{B}V_{B}\ln \left({\frac {V_{C}}{V_{B}}}\right)=+139\,\mathrm {J}$

Proceso C→A

Por último, en la compresión a presión constante, la temperatura vuelve a su valor inicial, y lo mismo hace la energía interna

$\Delta U^{C\to A}=nc_{v}\,\Delta T=nc_{v}(T_{A}-T_{B})=-250\,\mathrm {J}$

Obsérvese que aunque el proceso sea a presión constante, en la expresión de la energía aparece $c_{v}$.

El calor en este caso vale

$Q^{C\to A}=\Delta U-W^{C\to A}=-250\,\mathrm {J} -100\,\mathrm {J} =-350\,\mathrm {J}$

Al tratarse de un proceso a presión constante, el calor puede también hallarse directamente como

$Q=nc_{p}\,\Delta T$

siendo

$c_{p}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}=29.1{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} \cdot \mathrm {mol} }}$

Este método nos daría

$Q^{C\to A}={\frac {7}{2}}\left(nRT_{A}-nRT_{C}\right)={\frac {\gamma (p_{A}V_{A}-p_{C}V_{C})}{\gamma -1}}={\frac {\gamma p_{A}(V_{A}-V_{C})}{\gamma -1}}={\frac {1.4\cdot 100(1.00-2.00)}{0.4}}\,\mathrm {J} =-350\,\mathrm {J}$

Nótese que para el calor sí se cambia $c_{v}$ por $c_{p}$.

Balance

Sumando los tres pasos, obtenemos la variación de energía

$\Delta U=\Delta U^{A\to B}+\Delta U^{B\to C}+\Delta U^{C\to A}=250\,\mathrm {J} +0\,\mathrm {J} -250\,\mathrm {J} =0\,\mathrm {J}$

que es nula, como corresponde a que el proceso es cíclico y la energía es una función de estado.

Para el calor, en cambio

$Q=Q^{A\to B}+Q^{B\to C}+Q^{C\to A}=+250\,\mathrm {J} +139\,\mathrm {J} -350\,\mathrm {J} =+39\,\mathrm {J}$

El resultado neto es que a lo largo del ciclo entran $39\,\mathrm {J}$ en forma de calor y sale la misma cantidad en forma de trabajo. Este ciclo describiría un modelo muy simple de máquina térmica.