Compresión lineal de un gas

Enunciado

Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A = 100\,\mathrm{kPa}} , temperatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_A = 300\,\mathrm{K}} y ocupa un volumen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3} , según la ley

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p = 3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}}

La compresión continúa hasta que la presión vale Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B = 2p_A} .

1. Trace la gráfica del proceso en un diagrama PV.
2. Calcule la temperatura final del proceso.
3. Calcule el trabajo neto realizado sobre el gas, la variación de su energía interna y el calor que entra en el gas durante el proceso.
4. ¿Para qué volumen durante el proceso la temperatura es máxima? Halle el valor de esta temperatura máxima.
5. Separando el proceso en dos: uno hasta que alcanza la temperatura máxima y otro de ahí hasta el final, halle Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q} en cada uno de los dos subprocesos.

Representación gráfica

Dado que la presión depende del volumen en la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p = a + b V\,}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = 3p_A\,}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b = -\frac{2p_A}{V_A}}

es claro que la gráfica del proceso es un segmento rectilíneo. El punto inicial del segmento es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (p_A,V_A)} y el punto final corresponde a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B=2p_A} y al volumen

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B=2p_A = 3p_A - \frac{2p_AV_B}{V_A} \qquad\Rightarrow\qquad V_B = \frac{V_A}{2}}

Por tanto el volumen final es la mitad del inicial, mientras que la presión es el doble.

Numéricamente, será

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3 = 10\,\mathrm{l}\qquad V_B = 5\,\mathrm{l}\qquad p_A = 100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad p_B = 200\,\mathrm{kPa}}

Temperatura final

Obtenemos la temperatura final a partir de la ecuación de los gases ideales. Inicialmente tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_AV_A = n R T_A\qquad\Rightarrow\qquad n R = \frac{p_AV_A}{T_A}}

En el estado final

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_B = \frac{p V}{n R} = \frac{(2p_A)(V_A/2)}{n R} = \frac{p_AV_A}{n R} = T_A=300\,\mathrm{K}}

Por tanto, la temperatura final es igual a la inicial.

Trabajo, energía y calor

Trabajo

El trabajo realizado sobre el gas en un proceso cuasiestático es igual a la integral

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = - \int_{V_i}^{V_f}p\,\mathrm{d}V}

En nuestro caso

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W= -\int_{V_A}^{V_A/2} \left(3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}\right)\mathrm{d}V = -\left.3p_AV\right|_{V_A}^{V_A/2}+\left.\frac{p_AV^2}{V_A}\right|_{V_A}^{V_A/2} = \frac{3p_AV_A}{4}}

Es muy fácil llegar a este resultado de forma gráfica, ya que el área bajo la curva es la de un trapecio de altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A/2} , base menor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A} y base mayor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2p_A} . El área de este trapecio es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = \frac{1}{2}\left(\frac{V_A}{2}\right)\left(2p_A+p_A\right) = \frac{3p_AV_A}{4}}

siendo el valor numérico

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = \frac{3}{4}\times 100\mathrm{kPa}\times 0.01\mathrm{m}^3 = 750\,\mathrm{J}}

Energía interna

Por tratarse de un gas ideal, la variación en la energía interna solo depende de la temperatura inicial y la final

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U = nc_v(T_f-T_i) = nc_v(T_A-T_A)=0\,}

Puesto que la temperatura inicial y la final son la misma, no hay variación en la energía interna del gas.

Calor

Una vez que tenemos el trabajo y la variación de la energía interna, hallamos el calor empleando el primer principio de la termodinámica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q = \Delta U - W = -\frac{3p_AV_A}{4}=-750\,\mathrm{J}}

En este proceso se realiza trabajo, pero puesto que la temperatura del sistema es la misma al principio y al final, ese trabajo sale del sistema en forma de calor. Este proceso, no obstante, no es isotermo, ya que la temperatura del sistema cambia en los estados intermedios.

Temperatura máxima

La temperatura del gas en cada estado del proceso la hallamos por la ley de los gases ideales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T(V) = \frac{p(V)V}{n R} = \frac{3p_AV-2p_AV^2/V_A}{p_AV_A/T_A}=\frac{3T_AV}{V_A}-\frac{2T_AV^2}{V_A^2}}

La gráfica de esta función tiene una forma parabólica, con un máximo en algún punto intermedio entre el estado inicial y el final. Hallamos la posición del máximo igualando la derivada a cero.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}=\frac{3T_A}{V_A}-\frac{4T_AV}{V_A^2}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V = \frac{3V_A}{4}=7.5\,\mathrm{l}}

Este volumen corresponde al punto medio entre el estado inicial y el final. La temperatura en este punto es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_\mathrm{max}=\frac{3T_A}{V_A}\left(\frac{3V_A}{4}\right)-\frac{2T_A}{V_A^2}\left(\frac{3V_A}{4}\right)^2 = \frac{9}{8}T_A=337.5\,\mathrm{K}}

La temperatura del gas, por tanto, aumenta desde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_A} a (9/8) de este valor y a partir de ahí vuelve a disminuir al valor inicial

División en dos tramos

De acuerdo con el resultado del apartado anterior, cuando se comprime el gas entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3V_A/4} , la temperatura aumenta, disminuyendo entre ese valor y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A/2} . Si consideramos los dos procesos por separado obtenemos los resultados siguientes:

Trabajo

Primer tramo

Hallamos el trabajo empleando de nuevo la fórmula del trapecio (o la integral, que es equivalente). Este trapecio tiene altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A/4} y bases Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3p_A/2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{V_A}{4}\right)\left(\frac{3p_A}{2}+p_A\right) = \frac{5}{16}p_AV_A=312\,\mathrm{J}}

Segundo tramo

Para la segunda parte del trayecto podemos hallar el trabajo como el área de un nuevo trapecio o considerando que es el trabajo restante hasta completar el total. En cualquier caso, el resultado es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_2 = W - W_1 = \frac{3p_AV_A}{4}-\frac{5p_AV_A}{16} = \frac{7}{16}p_AV_A=437.5\,\mathrm{J}}

Energía

Los dos tramos no son isotermos, ya que la temperatura primero sube y luego baja, por lo que hay variación en la energía interna en cada uno dellos.

Primer tramo

Por tratarse de un gas ideal diatómico, la variación de energía es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U_1 =nc_v(T_1-T_A) =\frac{5}{2}nR\left(\frac{9}{8}T_A-T_A\right)=\frac{5}{16}nRT_A=\frac{5}{16}p_AV_A=312.5\,\mathrm{J}}

Segundo tramo

Operando del mismo modo

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Resulta igual y de signo contrario a la anterior, como corresponde a que la variación neta de energía es nula.

Calor

Para calcular el calor en cada tramo del proceso aplicamos el primer principio de la termodinámica

Primer tramo

El calor en este proceso es

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Este proceso es globalmente adiabático, aunque en pasos intermedios se intercambie calor con el entorno.

Segundo tramo

El calor en este parte se halla de la misma forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_2 = \Delta U_2 - W_2 = -\frac{5}{16}p_AV_A-\frac{7}{16}p_AV_A = -\frac{3}{4}p_AV_A=-750\,\mathrm{J}}