Compresión lineal de un gas

Enunciado

Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión $p_{A}=100\,\mathrm {kPa}$, temperatura $T_{A}=300\,\mathrm {K}$ y ocupa un volumen $V_{A}=0.01\,\mathrm {m} ^{3}$, según la ley

$p=3p_{A}-{\frac {2p_{A}V}{V_{A}}}$

La compresión continúa hasta que la presión vale $p_{B}=2p_{A}$.

1. Trace la gráfica del proceso en un diagrama PV.
2. Calcule la temperatura final del proceso.
3. Calcule el trabajo neto realizado sobre el gas, la variación de su energía interna y el calor que entra en el gas durante el proceso.
4. ¿Para qué volumen durante el proceso la temperatura es máxima? Halle el valor de esta temperatura máxima.
5. Separando el proceso en dos: uno hasta que alcanza la temperatura máxima y otro de ahí hasta el final, halle $W$, $\Delta U$ y $Q$ en cada uno de los dos subprocesos.

Representación gráfica

Dado que la presión depende del volumen en la forma

$p=a+bV\,$    $a=3p_{A}\,$    $b=-{\frac {2p_{A}}{V_{A}}}$

es claro que la gráfica del proceso es un segmento rectilíneo. El punto inicial del segmento es $(p_{A},V_{A})$ y el punto final corresponde a $p_{B}=2p_{A}$ y al volumen

$p_{B}=2p_{A}=3p_{A}-{\frac {2p_{A}V_{B}}{V_{A}}}\qquad \Rightarrow \qquad V_{B}={\frac {V_{A}}{2}}$

Por tanto el volumen final es la mitad del inicial, mientras que la presión es el doble.

Numéricamente, será

$V_{A}=0.01\,\mathrm {m} ^{3}=10\,\mathrm {l} \qquad V_{B}=5\,\mathrm {l} \qquad p_{A}=100\,\mathrm {kPa} \qquad \qquad p_{B}=200\,\mathrm {kPa}$

Temperatura final

Obtenemos la temperatura final a partir de la ecuación de los gases ideales. Inicialmente tenemos

$p_{A}V_{A}=nRT_{A}\qquad \Rightarrow \qquad nR={\frac {p_{A}V_{A}}{T_{A}}}$

En el estado final

$T_{B}={\frac {pV}{nR}}={\frac {(2p_{A})(V_{A}/2)}{nR}}={\frac {p_{A}V_{A}}{nR}}=T_{A}=300\,\mathrm {K}$

Por tanto, la temperatura final es igual a la inicial.

Trabajo, energía y calor

Trabajo

El trabajo realizado sobre el gas en un proceso cuasiestático es igual a la integral

$W=-\int _{V_{i}}^{V_{f}}p\,\mathrm {d} V$

En nuestro caso

$W=-\int _{V_{A}}^{V_{A}/2}\left(3p_{A}-{\frac {2p_{A}V}{V_{A}}}\right)\mathrm {d} V=-\left.3p_{A}V\right|_{V_{A}}^{V_{A}/2}+\left.{\frac {p_{A}V^{2}}{V_{A}}}\right|_{V_{A}}^{V_{A}/2}={\frac {3p_{A}V_{A}}{4}}$

Es muy fácil llegar a este resultado de forma gráfica, ya que el área bajo la curva es la de un trapecio de altura $V_{A}/2$, base menor $p_{A}$ y base mayor $2p_{A}$. El área de este trapecio es

$W={\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{A}}{2}}\right)\left(2p_{A}+p_{A}\right)={\frac {3p_{A}V_{A}}{4}}$

siendo el valor numérico

$W={\frac {3}{4}}\times 100\mathrm {kPa} \times 0.01\mathrm {m} ^{3}=750\,\mathrm {J}$

Energía interna

Por tratarse de un gas ideal, la variación en la energía interna solo depende de la temperatura inicial y la final

$\Delta U=nc_{v}(T_{f}-T_{i})=nc_{v}(T_{A}-T_{A})=0\,$

Puesto que la temperatura inicial y la final son la misma, no hay variación en la energía interna del gas.

Calor

Una vez que tenemos el trabajo y la variación de la energía interna, hallamos el calor empleando el primer principio de la termodinámica

$Q=\Delta U-W=-{\frac {3p_{A}V_{A}}{4}}=-750\,\mathrm {J}$

En este proceso se realiza trabajo, pero puesto que la temperatura del sistema es la misma al principio y al final, ese trabajo sale del sistema en forma de calor. Este proceso, no obstante, no es isotermo, ya que la temperatura del sistema cambia en los estados intermedios.

Temperatura máxima

La temperatura del gas en cada estado del proceso la hallamos por la ley de los gases ideales

$T(V)={\frac {p(V)V}{nR}}={\frac {3p_{A}V-2p_{A}V^{2}/V_{A}}{p_{A}V_{A}/T_{A}}}={\frac {3T_{A}V}{V_{A}}}-{\frac {2T_{A}V^{2}}{V_{A}^{2}}}$

La gráfica de esta función tiene una forma parabólica, con un máximo en algún punto intermedio entre el estado inicial y el final. Hallamos la posición del máximo igualando la derivada a cero.

$0={\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} V}}={\frac {3T_{A}}{V_{A}}}-{\frac {4T_{A}V}{V_{A}^{2}}}$ ⇒ $V={\frac {3V_{A}}{4}}=7.5\,\mathrm {l}$

Este volumen corresponde al punto medio entre el estado inicial y el final. La temperatura en este punto es

$T_{\mathrm {max} }={\frac {3T_{A}}{V_{A}}}\left({\frac {3V_{A}}{4}}\right)-{\frac {2T_{A}}{V_{A}^{2}}}\left({\frac {3V_{A}}{4}}\right)^{2}={\frac {9}{8}}T_{A}=337.5\,\mathrm {K}$

La temperatura del gas, por tanto, aumenta desde $T_{A}$ a (9/8) de este valor y a partir de ahí vuelve a disminuir al valor inicial

División en dos tramos

De acuerdo con el resultado del apartado anterior, cuando se comprime el gas entre $V_{A}$ y $3V_{A}/4$, la temperatura aumenta, disminuyendo entre ese valor y $V_{A}/2$. Si consideramos los dos procesos por separado obtenemos los resultados siguientes:

Trabajo

Primer tramo

Hallamos el trabajo empleando de nuevo la fórmula del trapecio (o la integral, que es equivalente). Este trapecio tiene altura $V_{A}/4$ y bases $p_{A}$ y $3p_{A}/2$

$W_{1}={\frac {1}{2}}\left({\frac {V_{A}}{4}}\right)\left({\frac {3p_{A}}{2}}+p_{A}\right)={\frac {5}{16}}p_{A}V_{A}=312\,\mathrm {J}$

Segundo tramo

Para la segunda parte del trayecto podemos hallar el trabajo como el área de un nuevo trapecio o considerando que es el trabajo restante hasta completar el total. En cualquier caso, el resultado es

$W_{2}=W-W_{1}={\frac {3p_{A}V_{A}}{4}}-{\frac {5p_{A}V_{A}}{16}}={\frac {7}{16}}p_{A}V_{A}=437.5\,\mathrm {J}$

Energía

Los dos tramos no son isotermos, ya que la temperatura primero sube y luego baja, por lo que hay variación en la energía interna en cada uno dellos.

Primer tramo

Por tratarse de un gas ideal diatómico, la variación de energía es

$\Delta U_{1}=nc_{v}(T_{1}-T_{A})={\frac {5}{2}}nR\left({\frac {9}{8}}T_{A}-T_{A}\right)={\frac {5}{16}}nRT_{A}={\frac {5}{16}}p_{A}V_{A}=312.5\,\mathrm {J}$

Segundo tramo

Operando del mismo modo

$\Delta U_{2}={\frac {5}{2}}nR\left(T_{A}-{\frac {9}{8}}T_{A}-T_{A}\right)=-{\frac {5}{16}}p_{A}V_{A}=-312.5\,\mathrm {J}$

Resulta igual y de signo contrario a la anterior, como corresponde a que la variación neta de energía es nula.

Calor

Para calcular el calor en cada tramo del proceso aplicamos el primer principio de la termodinámica

Primer tramo

El calor en este proceso es

$Q_{1}=\Delta U_{1}-W_{1}={\frac {5}{16}}p_{A}V_{A}-{\frac {5}{16}}p_{A}V_{A}=0$

Este proceso es globalmente adiabático, aunque en pasos intermedios se intercambie calor con el entorno.

Segundo tramo

El calor en este parte se halla de la misma forma

$Q_{2}=\Delta U_{2}-W_{2}=-{\frac {5}{16}}p_{A}V_{A}-{\frac {7}{16}}p_{A}V_{A}=-{\frac {3}{4}}p_{A}V_{A}=-750\,\mathrm {J}$