Ejemplo paramétrico de movimiento plano

Enunciado

La escuadra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_2X_2Y_2} (sólido “2”) se mueve respecto a la escuadra $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido “1”) de forma que su origen de coordenadas, $O_{2}$ , verifica la ecuación paramétrica

{\overrightarrow {O_{1}O_{2}}}=A(\cos(\theta )+\theta \,\mathrm {sen} (\theta )){\vec {\imath }}_{1}+A(\mathrm {sen} (\theta )-\theta \cos(\theta )){\vec {\jmath }}_{1}

siendo $\theta =\theta (t)$ el ángulo que el eje $O_{2}X_{2}$ forma con el $O_{1}X_{1}$ .

Calcule la velocidad instantánea del punto $O_{1}$ en el movimiento {21}: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{O_1}_{21}} .
Determine la posición del CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} y exprésela empleando el sistema de referencia ligado al sólido “1”.
Exprese la posición del mismo punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} en el sistema de referencia ligado al sólido “2”.

Velocidad

La velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} , como parte del sólido “2” respecto al “1”, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{O_1}_{21}} , puede calcularse de diferentes formas.

Empleando el sistema de referencia “1”

Debemos hallar la velocidad de un punto cuya posición no conocemos en todo instante. El punto cuya posición sí conocemos y podemos derivar es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_2} . Por ello, debemos usar la expresión del campo de velocidades

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{O_1}_{21}=\vec{v}^{O_2}_{21} + \omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{O_2O_1}}

Veamos cada término por separado.

La velocidad de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_2} en el movimiento {21} sí puede hallarse derivando respecto al tiempo, por aplicación de la regla de la cadena.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{O_2}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{O_1O_2}\right|_1=A\dot{\theta}\theta\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)}

La velocidad angular es inmediata, puesto que conocemos el ángulo que forman los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\vec{k}}

El vector de posición relativo es el opuesto al que aparece en el enunciado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_2O_1}=-\overrightarrow{O_1O_2} =-A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 - A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1}

Reuniendo todo esto obtenemos la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{O_1}_{21}=\vec{v}^{O_2}_{21} + \omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{O_2O_1}=A\dot{\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1-\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)}

Empleando el sistema de referencia “2”

Puesto que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} es el origen de coordenadas del sistema de referencia “1”, puede parecer más intuitivo considerar el movimiento inverso, del sólido “1” respecto al “2”. Las velocidades de los movimientos inversos se relacionan por la igualdad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{O_1}_{21}=-\vec{v}^{O_1}_{12}}

Para hallar el segundo miembro, expresaremos la posición del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} en el sistema de referencia ligado al sólido “2”. El vector de posición relativo es, según dijimos,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_2O_1}=-\overrightarrow{O_1O_2} =-A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 - A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1}

Esta vector aun está expresado en el sistema de referencia “1”. Para pasar al “2” debemos relacionar las bases respectivas. Las relaciones son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{array}{lcr} \vec{\imath}_2 & = & \cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 \\ \vec{\jmath}_2 & = & -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 + \cos(\theta)\vec{\jmath}_1 \end{array}\right.}

Podemos obtener el vector de expresión en la base “2” simplemente observando que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_2O_1}=-A(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta))\vec{\jmath}_1-A\theta(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 - \cos(\theta))\vec{\jmath}_1}

donde podemos reconocer los vectores de la base, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_2O_1}=-A\vec{\imath}_2+A\theta\vec{\jmath}_2}

La obtención de la velocidad inversa es entonces trivial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{O_1}_{12}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{O_2O_1}\right|_2 = A\dot{\theta}\vec{\jmath}_2}

y la velocidad que pide el enunciado es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{O_1}_{21}=-\vec{v}^{O_1}_{21}=- A\dot{\theta}\vec{\jmath}_2}

CIR en el sistema “1”

Para hallar la posición del centro instantáneo de rotación disponemos de la fórmula analítica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_1I}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^{O_1}_{21}}{\omega_{21}}}

siendo ya conocidas cada una de las cantidades. Sustituyendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_1I}_{21}=\frac{\vec{k}\times\left(A\dot{\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1-\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)\right)}{\dot{\theta}} = A\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)}

A la vista de este resultado tenemos que

La posición del CIR no depende de la rapidez con la que varía el ángulo, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}} .
En este caso concreto, a medida que va variando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , la posición de los sucesivos CCIIR se encuentra sobre una circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} en torno a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} .

CIR en el sistema “2”

De la misma manera puede calcularse la posición en el sistema “2”. Para expresar este resultado, debemos hallar el vector de posición relativo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_2} y expresarla en el sistema de ejes ligado al sólido “2”.

Esto lo podemos conseguir de varias formas:

A partir de la velocidad de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_2}: Puesto que hemos calculado previamente la velocidad de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_2} podemos volver a aplicar la fórmula analítica para la posición del CIR

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_2I}_{21}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^{O_2}_{21}}{\omega_{21}}}

donde ahora

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{O_2}_{21}= A\dot{\theta}\theta\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)=A\dot{\theta}\theta\vec{\imath}_2}

Sustituyendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_2I}_{21}=\frac{\vec{k}\times(A\dot{\theta}\theta\vec{\imath}_2)}{\dot{\theta}}=A\theta\vec{\jmath}_2}

A partir de la posición relativa a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1}: Puesto que ya hemos determinado la posición del CIR relativa a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} , para hallar la posición relativo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_2} nos basta con sumar vectores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_2I}_{21}=\overrightarrow{O_2O_1}+\overrightarrow{O_1I}_{21}}

donde, como hemos visto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_2O_1}=-A\vec{\imath}_2+A\theta\vec{\jmath}_2}

y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_1I}_{21}= A\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)=A\vec{\imath}_2}

Sumando estas dos expresiones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_2I}_{21}=-A\vec{\imath}_2+A\theta\vec{\jmath}_2+A\vec{\imath}_2=A\theta\vec{\jmath}_2}

Vemos que este CIR se mueve a lo largo de la recta correspondiente al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_2Y_2}

Interpretación de los resultados

De acuerdo con los resultados anteriores, hemos obtenido que, a medida que aumenta el valor del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} , la posición del CIR Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} va desplazándose a lo largo de una circunferencia, según el sistema del sólido “1” y a lo largo de una recta, según el sólido “2”. Este resultado posee una interpretación geométrica sencilla.

Cuando varía Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_2} va describiendo la evolvente de una circunferencia. Este curva puede describirse como la posición que ocupa el extremo de un hilo tenso, pero también es la que curva que corresponde al extremo de una barra recta que rueda sin deslizar sobre un disco circular.

Empleando esta interpretación vemos que es natural que las sucesivas posiciones del CIR se encuentren sobre una circunferencia, en el sistema ligado a ésta, y sobre una recta, en el sistema ligado a la barra.

Este movimiento puede también verse de manera inversa. Considerando como sistema fijo el “2” y como móvil el “1”, el sistema equivalente pasa a ser el de un disco que rueda sobre una superficie horizontal. Con esta reinterpretación, es inmediato que el vector de posición relativa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_1I}_{12}} en el sistema “2” se exprese como un vector constante, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{O_1I}_{21}=A\vec{\imath}_2} , ya que se trata del vector que une el centro del disco con el punto de apoyo, y esta posición relativa es constante.

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