Ecuación dimensional de G (Ex.Nov/11)

Enunciado

La ley de la Gravitación Universal establece que la interacción gravitatoria entre dos cuerpos puede expresarse mediante una fuerza cuyo módulo es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2\,} ) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\,} ) que los separa, es decir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F=G\frac{m_1m_2}{r^2}}

¿Cuál es la ecuación dimensional de la constante de gravitación universal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G\,} en el SI?

Solución

Conocemos las dimensiones de una fuerza (recordando, por ejemplo, que fuerza es igual a masa por aceleración) en el SI:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [F] = MLT^{-2}\,}

Si despejamos la constante de gravitación universal en la relación que nos da el enunciado, se obtiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G=\frac{F r^2}{m_1m_2}}

y tomando dimensiones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [G]=\frac{[F] [r]^2}{[m_1][m_2]}=\frac{MLT^{-2}L^2}{M^2}=M^{-1}L^3T^{-2}}