Equilibrio de barra con muelle (Ene. 2021)

Enunciado

Una barra de longitud $2d$ está articulada en su punto central en el punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . El extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se conecta al punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} por un muelle de constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural nula. Una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=F_0\,\vec{\imath}} , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0>0} , se aplica en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} . No se tiene en cuenta la fuerza de la gravedad.

1. Usando el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) (o el de las potencias virtuales, PPV) determina el valor de equilibrio del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} .
2. Si el ángulo es tal que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\mathrm{sen}\,{\theta}=3/5} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\theta=4/5} , determina, usando el Principio de Liberación y el PTV (o el PPV), las componentes de la fuerza de reacción vincular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} (en la base de los ejes de la figura)

Solución

Posición de equilibrio

Con el Principio de los Trabajos Virtuales

Las fuerzas activas que actúan sobre la barra son la fuerza aplicada en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y la fuerza que el muelle ejerce en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . El Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) dice que, para que haya equilibrio, en cualquier desplazamiento virtual debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A = 0. }

Calculemos cada uno de esos términos. El sistema tiene un grado de libertad: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\theta\}} . Así pues, un desplazamiento virtual arbitrario es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\delta\theta\}} .

Para la fuerza en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_B = d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 \Longrightarrow \delta\vec{r}_B = \left(\dfrac{\partial\vec{r}_B}{\partial\theta}\right)\delta\theta = (d\cos\theta\,\vec{\imath} - d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\delta\theta. }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B = F_0d\cos\theta\delta\theta. }

La fuerza del muelle sobre el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la barra viene dada por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{F}_k & = -k\overrightarrow{CA} =kd\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - kd(1-\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1 \\ & \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = -d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + d(1-\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1. \\ & \qquad \overrightarrow{OA} = -d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1.\\ & \qquad \overrightarrow{OC} = -d\,\vec{\jmath}_1. \end{array} }

Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_A = -d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - d\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 \Longrightarrow \delta\vec{r}_A = \left(\dfrac{\partial\vec{r}_A}{\partial\theta}\right)\delta\theta = (-d\cos\theta\,\vec{\imath} + d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\delta\theta. }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A = -kd^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\theta. }

Por tanto la condición de equilibrio es, para todo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\theta} ,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (F_0d\cos\theta - kd^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\delta\theta = 0 \Longrightarrow \tan\theta = \dfrac{F_0}{kd}. }

Con el Principio de las Potencias Virtuales

En esta caso necesitamos la reducción cinemática del movimiento de la barra

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,O} = \vec{0}. }

El Principio dice que, en cualquier desplazamiento virtual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\dot{\theta}^*\}} , debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}\cdot\vec{v}^{\,*}_B + \vec{F}_k\cdot\vec{v}^{\,*}_A=0. }

Las velocidades que necesitamos son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{\,*}_B = \vec{v}_O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB} = (d\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\,\dot{\theta}^*,\\ \vec{v}^{\,*}_A = \vec{v}_O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA} = (-d\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + d\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)\,\dot{\theta}^* \end{array} }

Aplicando el PPV llegamos a la misma condición que en el caso anterior.

Con la energía potencial

Otra forma de hacerlo es usando la energía potencial. La acción del muelle puede describirse con la energía potencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_k = \dfrac{1}{2}k\,|\overrightarrow{AC}|^2 = kd^2(1-\cos\theta). }

La acción de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} se describe con una fuerza generalizada

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q^{NC}_{\theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_B}{\partial \theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}_B}{\partial \dot{\theta}} = F_0d\cos\theta }

La condición de equilibrio es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\partial U_k}{\partial \theta} = Q^{NC}_{\theta} \Longrightarrow \tan\theta = \dfrac{F_0}{kd}. }

Fuerza vincular en O

La fuerza vincular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} garantiza que se cumpla el vínculo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_O=\vec{0}} . Por tanto debe tener dos componentes (es un sistema plano)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{O} = O_x\,\vec{\imath}_1 + O_y\,\vec{\jmath}_1. }

Por tanto, tenemos que aplicar el Principio de Liberación dos veces.

Componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_x}

Liberamos la barra de modo que su centro pueda desplazarse horizontalmente. Ahora hay dos grados de libertad: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{x_O, \theta\}} y un desplazamiento virtual genérico tiene la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\delta x_O, \delta\theta\}} . Al liberar, tenemos que introducir una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{O}_x = O_x\,\vec{\imath}_1} que se comporta como una fuerza activa. El PTV dice que, para cualquier desplazamiento virtual, en equilibrio debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A + \vec{O}_x\cdot\delta\vec{r}_O=0. }

De todos los desplazamientos virtuales posibles escogemos el que cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\theta = 0, \qquad \delta x_O = \delta x \Longrightarrow \delta\vec{r}_B = \delta\vec{r}_A = \delta\vec{r}_O = \delta x\,\vec{\imath}_1. }

Aplicando el PTV llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (F_0 + kd\,\mathrm{sen}\,\theta + O_x)\delta x=0 \quad (\forall \delta x) \Longrightarrow O_x = -kd\,\mathrm{sen}\,\theta - F_0. }

Usando el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} dado por el enunciado tenemos finalmente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_x = -\dfrac{3}{5}kd-F_0. }

Componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_y}

Ahora liberamos la barra de modo que su centro pueda desplazarse verticalmente. Los dos grados de libertad son: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{y_O, \theta\}} y un desplazamiento virtual genérico tiene la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\delta y_O, \delta\theta\}} . Al liberar, tenemos que introducir una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{O}_y = O_y\,\vec{\jmath}_1} que se comporta como una fuerza activa. El PTV dice que, para cualquier desplazamiento virtual, en equilibrio debe cumplirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}_B + \vec{F}_k\cdot\delta\vec{r}_A + \vec{O}_y\cdot\delta\vec{r}_O=0. }

De todos los desplazamientos virtuales posibles escogemos el que cumple

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\theta = 0, \qquad \delta y_O = \delta y \Longrightarrow \delta\vec{r}_B = \delta\vec{r}_A = \delta\vec{r}_O = \delta y\,\vec{\jmath}_1. }

Aplicando el PTV llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (-kd\,(1-\cos\theta) + O_y)\delta y=0 \quad (\forall \delta y) \Longrightarrow O_y = kd\,(1-\cos\theta). }

Usando el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} dado por el enunciado tenemos finalmente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_y = \dfrac{1}{5}kd. }