Enunciado

Un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} gira y cae, siempre contenido en el plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} , mientras se desenrolla de una cuerda que pende verticalmente, y cuya longitud aumenta según la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l(t)=R+K\!\ t^2} (donde es una constante conocida).

  1. Obtenga la reducción cinemática que describe el movimiento instantáneo del disco.
  2. Velocidad y aceleración instantáneas del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} indicado en la figura.

Solución

Descripción del movimiento instantáneo

Reducción cinemática

Como sabemos, el movimiento del disco respecto del sistema de referencia fijo queda caracterizado en cada instante por los dos vectores que forman la reducción cinemática: el vector rotación instantánea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}} y la velocidad de un punto cualquiera de dicho sólido. En el sistema bajo estudio, en que el disco se mueve siempre contenido en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} , hay un punto cuya velocidad instantánea es fácil de determinar: se trata del centro del disco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , que se moverá siempre paralelo a la cuerda desenrollada (y, por tanto, al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY} ), y según la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l(t)} . Es decir, proponemos la reducción cinemática

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\{\vec{\omega}(t);\ \vec{v}_C(t)\}\,\mathrm{,}\,\quad\,\mathrm{tal}\;\,\mathrm{que} \quad\vec{v}_P(t)=\vec{v}_C(t)+\vec{\omega}(t)\times\overrightarrow{CP}\,\mathrm{,}\;\;\,\forall P\in\tau_{\mathrm{disco}}}

Comencemos determinado la expresión instantánea de la velocidad del centro del disco. En todo instante, el radio-vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_C} que determina la posición del centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} respecto del punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , adoptado como origen del sistema de referencia, puede expresarse como sigue:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_C=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC}\quad\Longrightarrow\quad\vec{r}_C(t)=-l(t)\!\ \vec{\jmath}+R\vec{\imath}=R\vec{\imath}-\big(R+K\!\ t^2\big)\!\ \vec{\jmath}}

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} el punto geométrico donde la cuerda desenrrollada se separa del disco. La derivada temporal de las ecuaciones horarias que describen el movimiento del centro del disco, nos proporciona la expresión que indica cómo es, en el transcurso del tiempo, la velocidad instantánea de dicho punto:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_C(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}_C}{\mathrm{d}t}=-2Kt\!\ \vec{\jmath}}

Para obtener el vector rotación instantánea, comenzaremos por determinar su dirección. Para ello utilizaremos la informació de que el disco se mueve siempre contendio en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} . En consecuencia, los desplazamientos instantáneos de todos los punos del disco, en cualquier instante, punto del disco deben estar contenidos en dicho plano, olo que es lo mismo, deben ser perpendiculares al unitario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}} que indica la dirección del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \forall P\in\tau_{\mathrm{disco}},\quad \,\vec{k}\perp\mathrm{d}\vec{r}_P=\vec{v}_P\!\ \mathrm{d}t}

Como se demostró en el primer ejercicio, el vector rotación puede determinarse a partir de velocidades de tres puntos no alineados: por ejemplo, los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} . Sabemos de éstas que son vectores siempre contenidos en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY} , al igual, por tanto, que cualquier vector obtenidos como una combinacional lineal de áquellos. Así, se tendrá:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{c}\displaystyle(\vec{v}_B-\vec{v}_C)\perp\vec{k}\\ \\ \displaystyle (\vec{v}_I-\vec{v}_C)\perp\vec{k}\end{array}\right\}\quad\Longrightarrow\quad\vec{\omega}(t)=\frac{(\vec{v}_B-\vec{v}_C)\times (\vec{v}_I-\vec{v}_C)}{\overrightarrow{BC}\cdot(\vec{v}_I-\vec{v}_C)}\!\ \| \!\ \vec{k}}    ⇒   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}(t)=\omega(t)\!\ \vec{k}}

Y una vez determinada la dirección del vector rotación, basta con conocer la velocidad de otro punto del disco en el instante genérico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} , para obtener la ley Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega(t)} . Para ello, consideremos el punto geométrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(t)} que, en cada instante, coincide con el extremo inferior del tramo de cuerda desenrollada. Respecto del sistema de referencia fijo, este punto se va desplazando según la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l(t)} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}(t)=-l(t)\!\ \vec{\jmath}=-(R+K\!\ t^2)\!\ \vec{\jmath}}

La derivada temporal de estas ecuaciones horarias es la velocidad con la que se desplaza el punto geométrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} , pero ésta no es la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} del disco que, en el instante arbitrario considerado, coincide con la posición de dicho punto geométrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(t)} . Obsérvese que, los puntos del perímetro del disco se mueven solidariamente con los de la cuerda enrollada. En particular, el punto del disco que en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} se encuentra en la posición coincidente con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(t)} , tendrá la misma velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_I} que el punto de la cuerda que en dicho instante coincide tambien con el punto geométrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(t)} . Nótese que, una vez desenrrollada la cuerda, los puntos de ésta permanecerán en un posición fija (reposo permanente); por tanto, el punto de la cuerda que coincide con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(t)} tendrá velocidad nula desde el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} . En consecuencia, el punto del disco que en dicho instante arbitrario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} coincide con el punto geométrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(t)} , también tendrá velocidad nula, aunque sólo estará en resposo de forma instantánea. Es decir, sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} el punto del perímetro del disco que en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} coincide con el extremo inferior de la cuerda desenrollada; se tendrá que...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_I(t)=\vec{0}\,\mathrm{,}\quad \,\mathrm{con}\;\;\overrightarrow{CI}=-R\!\ \vec{\imath}}

Si aplicamos el teorema de Chasles en el instante genérico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} ...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_I(t)=\vec{0}=\vec{v}_C(t)+\vec{\omega}(t)\times\overrightarrow{CI}=-2Kt\!\ \vec{\jmath}-R\omega(t)\!\ \bigg(\vec{k}\times\vec{\imath}\!\ \bigg)}   Plantilla:Siysolosi  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega(t)=-\frac{2Kt}{R}}

En resumen, la reducción cinematica en el centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} del disco, en un instante de tiempo arbitrario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} es...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\vec{\omega}(t)=\omega(t)\!\ \vec{k}=-\frac{2Kt}{R}\!\ \vec{k}\\ \\ \displaystyle\vec{v}_C(t)=v(t)\!\ \vec{\jmath}=-2Kt\!\ \vec{\jmath}\end{array}\right.}

Tipo de movimiento

La reducción cinemática obtenida nos indica que el disco se mueve en todo instante y que su movimiento no es una traslación ya que, tanto la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , como el vector rotación instantánea son siempre no nulos. Sin embargo, si comprobamos el valor del invariante escalar...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}(t)\perp\vec{v}_C(t)\quad\Longrightarrow\quad\vec{\omega}(t)\cdot\vec{v}_C(t)=0=\vec{\omega}(t)\cdot\vec{v}_P(t)\,\mathrm{,}\,\;\;\forall P\in\tau_{\mathrm{disco}}\;\;\,\mathrm{y}\,\;\;\forall\, t}

Por tanto, el movimiento del disco es, en todo instante, una rotación. El eje de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_{\mathrm{EIR}}} es, por definición, siempre paralelo al vector rotación instantánea y, como éste, tendrá dirección constante: la del unitario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}} , siempre perpendicular al plano que contine al disco. Por otra parte, como la velocidad mínima es nula,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_m(t)=\frac{\vec{\omega}(t)\cdot\vec{v}_C(t)}{|\vec{\omega}(t)|}=0\,\mathrm{,}\,\;\;\forall\ t}

aquellos puntos del disco que se encuentren en reposo pertenecerán a dicho eje. Como vimos anteriormente, esto ocurre de forma instantánea con el punto del disco que en cada instante coincide con el punto geométrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(t)} donde la cuerda desenrollada se separa del disco, por tanto...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_I(t)=\vec{0}\quad\Longrightarrow\quad I(t)\in\Delta_{\mathrm{EIR}}\!\ \| \!\ \vec{k}}

Y como en el transcurso del movimiento, este punto cambia su posición respecto del sistema de referencia fijo, también lo hará el eje de rotación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_\mathrm{EIR}} que será, por tanto, de caractér instantáneo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_\mathrm{EIR}(t):\ \overrightarrow{OX}(t)=\overrightarrow{OI}(t)+\lambda\!\ \vec{k}= -(R+K\!\ t^2)\vec{\jmath}+\lambda\!\ \vec{k}\,\mathrm{,}\,}   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda\in\mathrm{I}\!\mathrm{R}}

Por otra parte, obsérvese que la reducción cinemática en el centro del disco, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , no es la reducción canónica. Ésta tiene como centro de reducción un punto del eje de rotación; en el sistema analizado se tendrá:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S^\mathrm{can}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\vec{\omega}(t)=\omega(t)\!\ \vec{k}=-\frac{2Kt}{R}\!\ \vec{k}\\ \\ \displaystyle\vec{v}_I(t)=\vec{0}\,\mathrm{;}\,\quad\,\mathrm{con}\,\;\;\overrightarrow{CI}=-R\!\ \vec{\imath}\end{array}\right.}

Obsérvese que el disco rueda sin deslizar sobre la cuerda cuando ésta se se desenrolla del disco.

Propiedades cinemáticas del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B}

Velocidad instantánea

Para determinar la velocidad instantánea del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , aplicamos el teorema de Chasles con cualquiera de las dos reducciones cinemáticas propuestas en el apartado anterior. Si utilizamos la reducción en el centro del disco...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle\vec{v}_B(t)=\vec{v}_C(t)+\vec{\omega}(t)\times\overrightarrow{CB}\\ \\ \displaystyle\overrightarrow{CB}=R\!\ \vec{\jmath}\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\quad\vec{v}_B(t)=v(t)\!\ \vec{\jmath}\!\ +\!\ R\!\ \omega(t)\!\ \big(\vec{k}\times\vec{\jmath}\!\ \big)}    ⇒   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_B(t)=2Kt\!\ \big(\vec{\imath}- \vec{\jmath}\!\ \big)}

Y empleando la reducción canónica...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle\vec{v}_B(t)=\overbrace{\vec{v}_I(t)}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}(t)\times\overrightarrow{IB}\\ \\ \displaystyle\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CI}=R\!\ \vec{\imath}\!\ + \!\ R\!\ \vec{\jmath}\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\quad\vec{v}_B(t)=\!\ R\!\ \omega(t)\!\ \big[\vec{k}\times(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\!\ )\big]}    ⇒   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_B(t)=2Kt\!\ \big(\vec{\imath}- \vec{\jmath}\!\ \big)}

Aceleración instantánea

En este caso aplicaremos la expresión del campo de aceleraciones del sólido rígido. Para ello, debemos conocer el valor de las derivadas de los elementos de la reducción en el instante considerado. Si optásemos por utilizar la reducción canónica, nos encontraríamos con que podemos determinar la aceleración angular o derivada temporal del vector rotación instantánea, pues tenemos la expresión que describe cómo este vector depende del tiempo. Pero no conocemos el valor de la aceleración instantánea del punto del disco que en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} ocupa la posición geométrica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(t)} . Lo único que sabemos es que, en dicho instante, su velocidad es nula pero su aceleración debe ser necesariamente distinta de cero, pues dicho punto del disco sólo se encuentra en un estado de reposo instantáneo, ya que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t+\mathrm{d}t} ocupará una nueva posición.

Sin embargo, la reducción cinemática con centro de reducción en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} nos permite, además, determinar la aceleración instantánea de dicho punto, pues conocemos la dependencia temporal de la velocidad de dicho punto:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} [S]=\left\{\vec{\alpha}(t);\!\ \vec{a}_C(t)\right\}\,\mathrm{,}\,\;\;\,\mathrm{siendo}\,\;\;\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\vec{\alpha}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=-\frac{2K}{R}\ \vec{k}\\ \\ \displaystyle\vec{a}_C(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}_C}{\mathrm{d}t}=-2K\!\ \vec{\jmath}\end{array}\right.}

Para obtener la aceleración del punto del disco que en el instante arbitrario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} ocupa la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} aplicamos...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_B(t)=\vec{a}_C(t)+\vec{\alpha}(t)\times\overrightarrow{CB}+\vec{\omega}(t)\times\big[\vec{\omega}(t)\times\overrightarrow{CB}\big]}    ⇒   Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_B(t)=2K\!\ \vec{\imath}\!\ -\!\ 2K \left(1+\frac{2Kt^2}{R}\right) \vec{\jmath} }
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