Enunciado

En un hipotético sólido rígido, las posiciones y velocidades de tres puntos son respectivamente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rclcrcl} \overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}&\qquad & \vec{v}^A & = & 4\vec{\imath}+2\vec{k}\\ \overrightarrow{OB}&=&\vec{\jmath}&\qquad & \vec{v}^B& = &2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}\\ \overrightarrow{OC}&=&\vec{k}&\qquad & \vec{v}^C&=&2\vec{\imath}-\vec{\jmath} \end{array} }
  1. Demuestre que estas velocidades son compatibles con la condición de rigidez.
  2. Halle la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O(0,0,0)} .
  3. Calcule la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}} .
  4. ¿Existe algún punto que tenga velocidad nula? ¿Dónde estaría situado?

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

Condición de rigidez

Para que un movimiento sea posible en un sólido rígido debe cumplirse, para todos y cada uno de sus pares de puntos la condición cinemática de rigidez, consistente en la equiproyectividad del campo de velocidades:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}^Q\cdot\overrightarrow{PQ}}

Aplicando esta condición para cada par de partículas resulta:

Partículas A y B
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\qquad\left\{\begin{matrix}\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB} & = & (4\vec{\imath}+2\vec{k})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}) & = & -4 \\ \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB} & = & (2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}) & = & -4 \end{matrix}\right.}
Partículas A y C
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}=-\vec{\imath}+\vec{k}\qquad\left\{\begin{matrix}\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC} & = & (4\vec{\imath}+2\vec{k})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}) & = & -2 \\ \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC} & = & (2\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}) & = & -2 \end{matrix}\right.}
Partículas B y C
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BC}=-\vec{\jmath}+\vec{k}\qquad\left\{\begin{matrix}\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC} & = & (2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k})\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}) & = & 1 \\ \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC} & = & (2\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}) & = & 1 \end{matrix}\right.}

Puesto que los tres pares verifican la condición, estas velocidades son compatibles con un movimiento de un sólido rígido.

Velocidad del origen

La velocidad de cualquier otro punto se puede obtener aplicando la equiproyectividad con los tres puntos que ya tenemos. Si la velocidad de O es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O = a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k}}

la condición cinemática de rigidez nos da, para el par formado por O y A

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OA}= \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{OA}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k})\cdot\vec{\imath}=(4\vec{\imath}+2\vec{k})\cdot\vec{\imath}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=4\,}

Para O y B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OB}=\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{OB}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k})\cdot\vec{\jmath}= (2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k})\cdot\vec{\jmath}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b=-2\,}

Y para O y C

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OC}=\vec{v}^C\cdot\overrightarrow{OC}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+c\vec{k})\cdot\vec{k}= (2\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot\vec{k}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c=0\,}

Reuniendo los tres resultados obtenemos la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O = (4\vec{\imath}-2\vec{\jmath})\,\mathrm{m/s}}

Velocidad del punto P

El mismo procedimiento puede emplearse para cualquier otro punto, si bien en general resultará un sistema de ecuaciones lineales. Si la velocidad del punto P es de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P = d\vec{\imath}+e\vec{\jmath}+f\vec{k}}

resultan las ecuaciones

Para P y A

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{AP}= \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AP}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d-2e-f=2\,}

Para P y B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}-\vec{k}}      ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2d-3e-f=11\,}

Para P y C

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^P\cdot\overrightarrow{CP}= \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{CP}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2d-2e-2f=6\,}

Tenemos entonces el sistema de ecuaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{matrix}d & - & 2e & - & f & = & 2 \\ 2d& - & 3e & - & f & = & 11 \\ 2d & - &2e & -& 2f &= & 6\end{matrix}\right.}

con solución

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d = 10\qquad e = 1\qquad f = 6\qquad\vec{v}^P = (10\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+6\,\vec{k})\,\mathrm{m/s}}

Un procedimiento alternativo para calcular la velocidad de un cuarto punto del sólido rígido, conocidas las velocidades de tres puntos no alineados, consiste en determinar primero el vector velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\,} . Las velocidades conocidas están obligadas a satisfacer la ecuación del campo de velocidades. Así, por ejemplo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{B}=\vec{v}^{A}+\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,2\vec{\imath}\, -\, 2\,\vec{\jmath}\, -\,\vec{k}=4\,\vec{\imath}\, +\,2\,\vec{k}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right|\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{lllll} 2 & = & 4-\omega_z & & \\ -2 & = & -\omega_z &\,\,\,\longrightarrow\,\,\,& \omega_z=2 \\ -1 & = & 2+\omega_x+\omega_y & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & \omega_y=-3-\omega_x \end{array} \right. }

Y por otra parte:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{C}=\vec{v}^{A}+\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,2\vec{\imath}\, -\, \vec{\jmath}=4\,\vec{\imath}\, +\,2\,\vec{k}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & -3-\omega_x & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right|\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{lllll} 2 & = & 4-3-\omega_x & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & \omega_x=-1 \\ ... & = & ... & & \\ ... & = & ... & & \end{array} \right. }

Ya tenemos información suficiente para escribir el vector velocidad angular:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=(-\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+\,2\vec{k})\,\mathrm{rad/s} }

Y ahora, una vez conocido Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\,} , se puede calcular la velocidad de cualquier punto utilizando de nuevo la ecuación del campo de velocidades:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{P}=\vec{v}^{O}+\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{v}^{P}=4\,\vec{\imath}\, -\,2\,\vec{\jmath}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -1 & -2 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \end{array}\right|\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{v}^{P}=(10\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+6\,\vec{k})\,\mathrm{m/s} }

Puntos con velocidad instantánea nula

A partir de la ecuación del campo de velocidades

Se trata de buscar un punto (o un conjunto de ellos), I, tales que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}\,\,;}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^I = \vec{0}}

Apoyándonos en la velocidad ya conocida del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} , podemos escribir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^I=\vec{v}^O+\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{OI}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\vec{0}=4\,\vec{\imath}\, -\,2\,\vec{\jmath}\,+\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -1 & -2 & 2 \\ x & y & z \end{array}\right|\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{lllll} 0 & = & 4-2z-2y & \,\rightarrow\, & 2y+2z=4 \\ 0 & = & -2+2x+z &\,\rightarrow\,& 2x+z=2 \\ 0 & = & -y+2x & \,\rightarrow\, & 2x-y=0 \end{array} \right. }

Por tanto, el sistema de ecuaciones cuya solución nos da la posición de los puntos de velocidad instantánea nula es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{matrix} & & 2y & + & 2z & = & 4 \\ 2x& & & + & z & = & 2 \\ 2x & - &y & & &= & 0\end{matrix}\right.}

Este sistema es compatible indeterminado. Podemos prescindir de la primera ecuación porque es linealmente dependiente de las otras dos (se obtiene restándole la tercera ecuación multiplicada por 2 a la segunda ecuación multiplicada por 2). Podemos quedarnos, pues, con el sistema de dos ecuaciones:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{matrix} 2x+z & = & 2 & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & z & = & 2-2x\\ 2x-y & = & 0 & \,\,\,\longrightarrow\,\,\, & y & = & 2x \end{matrix}\right.}

Por tanto, obtenemos un conjunto infinito de soluciones, situadas sobre la recta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\{\begin{matrix}x & = & \mu \\ y & = & 2\mu \\ z & = & 2-2\mu\end{matrix}\right.}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=[2\vec{k}+\mu(\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k})]\,\mathrm{m}}

Cálculo del eje central

Otra forma más directa de llegar a la solución consiste en caer en la cuenta de que, si existen puntos de velocidad instantánea nula, seguro que esos puntos pertenecen al eje central del campo de velocidades (lugar geométrico de los puntos cuya velocidad tiene módulo mínimo). Por tanto, lo primero que hacemos es confirmar que efectivamente, en el ejercicio que nos ocupa, la velocidad en los puntos del eje central es nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,\mathrm{min}}=\vec{v}_d=v_d\,\vec{u}_{\omega}=v_d\,\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\frac{\vec{v}_A\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}\,\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}=\vec{0} }

Y localizamos dichos puntos mediante la ecuación vectorial del eje central:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}^{\, O}}{|\vec{\omega}|^2}+\lambda\,\vec{\omega}=\left[\frac{4}{9}\,\vec{\imath}+\frac{8}{9}\,\vec{\jmath}+\frac{10}{9}\,\vec{k}+\lambda\,(-\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k})\right]\,\mathrm{m} }

Esta ecuación parece diferente de la obtenida por el procedimiento anterior, pero en realidad ambas corresponden a la misma recta. En efecto, si hacemos el cambio de parámetro:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu = \frac{4}{9}-\lambda}

podemos comprobar cómo la anterior ecuación se convierte en ésta de ahora.

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