No Boletín - Eje central (Ex.Ene/19)

Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento instantáneo. La velocidad angular es ${\vec {\omega }}=(2\,{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {rad/s} \,$, la velocidad de deslizamiento (segundo invariante) es $v_{d}=-2\,\,\mathrm {m/s} \,$, y la velocidad del punto $A(2,1,2)\,\,\mathrm {m} \,$ es ${\vec {v}}_{A}=(v_{x}\,{\vec {\imath }}\,-2\,{\vec {\jmath }}\,+4\,{\vec {k}}\,)\,\,\mathrm {m/s} \,$.

1. ¿Cuánto vale la componente $x\,$ de la velocidad del punto $A\,$?
2. ¿Cuál es el valor (en $\mathrm {m/s} \,$) de la velocidad de los puntos del eje central del campo de velocidades?
3. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a dicho eje central?

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B\left(0,-\displaystyle {\frac {2}{3}},-\displaystyle {\frac {4}{3}}\right)\,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C\left(\displaystyle {\frac {8}{3}},0,-\displaystyle {\frac {4}{3}}\right)\,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D\left(0,-\displaystyle {\frac {8}{3}},-\displaystyle {\frac {4}{3}}\right)\,\mathrm {m} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,E\left(\displaystyle {\frac {4}{3}},\displaystyle {\frac {4}{3}},0\right)\,\mathrm {m}$

Componente x de la velocidad del punto A

La velocidad de deslizamiento $v_{d}\,$ (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular. Por tanto, conocidas la velocidad de deslizamiento $v_{d}\,$, la velocidad angular ${\vec {\omega }}\,$ y dos componentes de la velocidad ${\vec {v}}_{\!A}\,$, es posible deducir la componente de ${\vec {v}}_{\!A}\,$ que falta a partir de la definición de la velocidad de deslizamiento:

$v_{d}={\frac {{\vec {v}}_{\!A}\cdot {\vec {\omega }}}{|\,{\vec {\omega }}\,|}}={\frac {(\,v_{x}\,{\vec {\imath }}\,-2\,{\vec {\jmath }}\,+4\,{\vec {k}}\,)\cdot (\,2\,{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}\,)}{|\,2\,{\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}\,|}}={\frac {2\,v_{x}+10}{3}}=-2\,\,\mathrm {m/s} \,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,v_{x}=-8\,\,\mathrm {m/s}$

Velocidad de los puntos del eje central

La velocidad de los puntos del eje central es precisamente la velocidad mínima (de módulo mínimo) de todo el campo de velocidades, y se determina mediante la siguiente fórmula que ha sido deducida en la teoría:

${\vec {v}}^{\,\mathrm {min} }=v_{d}\,\displaystyle {\frac {\vec {\omega }}{|\,{\vec {\omega }}\,|}}=\left(-\;\!\displaystyle {\frac {4}{3}}\,{\vec {\imath }}\;\!+\displaystyle {\frac {2}{3}}\,{\vec {\jmath }}\;\!-\;\!\displaystyle {\frac {4}{3}}\,{\vec {k}}\,\right)\,\,\mathrm {m/s}$

Punto perteneciente al eje central. Primer método: cálculo de la velocidad del punto

Mediante la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, se calculan las velocidades de los puntos $B\,$, $C\,$, $D\,$ y $E\,$:

${\begin{array}{lll}{\overrightarrow {AB}}=\left(-2\,{\vec {\imath }}-\displaystyle {\frac {5}{3}}\,{\vec {\jmath }}-\displaystyle {\frac {10}{3}}\,{\vec {k}}\,\right)\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}=\left(-\displaystyle {\frac {4}{3}}\,{\vec {\imath }}+\displaystyle {\frac {2}{3}}\,{\vec {\jmath }}-\displaystyle {\frac {4}{3}}\,{\vec {k}}\,\right)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\{\overrightarrow {AC}}=\left(\,\displaystyle {\frac {2}{3}}\,{\vec {\imath }}-\,{\vec {\jmath }}-\displaystyle {\frac {10}{3}}\,{\vec {k}}\,\right)\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{C}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AC}}=\left(-\displaystyle {\frac {8}{3}}\,{\vec {\imath }}+6\,{\vec {\jmath }}+\displaystyle {\frac {8}{3}}\,{\vec {k}}\,\right)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\{\overrightarrow {AD}}=\left(-2\,{\vec {\imath }}-\displaystyle {\frac {11}{3}}\,{\vec {\jmath }}-\displaystyle {\frac {10}{3}}\,{\vec {k}}\,\right)\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{D}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AD}}=\left(\,\displaystyle {\frac {8}{3}}\,{\vec {\imath }}+\displaystyle {\frac {2}{3}}\,{\vec {\jmath }}-\displaystyle {\frac {16}{3}}\,{\vec {k}}\,\right)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\\{\overrightarrow {AE}}=\left(-\displaystyle {\frac {2}{3}}\,{\vec {\imath }}+\displaystyle {\frac {1}{3}}\,{\vec {\jmath }}-2\,{\vec {k}}\,\right)\,\mathrm {m} &\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,&{\vec {v}}_{E}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AE}}=\left(-\displaystyle {\frac {20}{3}}\,{\vec {\imath }}+\displaystyle {\frac {2}{3}}\,{\vec {\jmath }}+4\,{\vec {k}}\,\right)\,\mathrm {m} /\mathrm {s} \\\end{array}}$

Si un punto pertenece al eje central, su velocidad es necesariamente la velocidad mínima ${\vec {v}}^{\,\mathrm {min} }\,$ calculada en el apartado anterior. Comprobamos que tal cosa sólo ocurre para el punto $B\,$, el cual es por tanto la respuesta correcta.

Punto perteneciente al eje central. Segundo método: determinación del eje central

Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática $\{{\vec {\omega }},{\vec {v}}_{A}\}\,$, es posible determinar el eje central. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del eje central, obtenemos el vector de posición de un punto genérico $I\,$ del eje central:

${\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {OA}}\,+\,{\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {OA}}\,+\,{\frac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{A}}{|\,{\vec {\omega }}\,|^{2}}}\,+\,\lambda \,{\vec {\omega }}=\left[\,\left(2\,+\,2\lambda \right){\vec {\imath }}\,+\left(-\displaystyle {\frac {5}{3}}\,-\,\lambda \right){\vec {\jmath }}\,+\left(\,\displaystyle {\frac {2}{3}}\,+\,2\lambda \right){\vec {k}}\,\right]\,\mathrm {m}$

Por tanto, las coordenadas de un punto genérico $I\,$ del eje central en el triedro OXYZ de referencia son:

$I\left(2+2\lambda \,,-\,\displaystyle {\frac {5}{3}}-\lambda \,,\,{\frac {2}{3}}+2\lambda \right)\,\mathrm {m}$

Comparando esta terna $\,\lambda -$paramétrica de coordenadas con las ternas de los cuatro puntos propuestos en el enunciado, deducimos que el único punto de ellos que pertenece al eje central es el punto $B\,$. En efecto: $B\left(0,-\displaystyle {\frac {2}{3}},-\displaystyle {\frac {4}{3}}\right)\,\mathrm {m} \,$ es el punto del eje central correspondiente a $\lambda =-1\,$.