No Boletín - Detección de invariantes (Ex.Feb/14)

Enunciado

En el contexto de la cinemática del sólido rígido, se utiliza la palabra "invariante" en un sentido espacial (no temporal). Por eso, se denomina invariante a cualquier magnitud cuyo valor no varía de un punto a otro del sólido rígido.

¿Cuál de las siguientes magnitudes no es un invariante?

1) ${\vec {v}}_{P}\cdot {\vec {\omega }}\,$           2) ${\vec {\omega }}\,$            3) ${\vec {a}}_{P}\cdot {\vec {\alpha }}\,$            4) ${\vec {v}}_{P}\cdot {\vec {\alpha }}+{\vec {a}}_{P}\cdot {\vec {\omega }}\,$

Primera magnitud propuesta

Averiguaremos si una magnitud es o no un invariante buscando la relación entre los valores que toma dicha magnitud en dos puntos arbitrarios ($P\,$ y $Q\,$) del sólido rígido, para así poder comprobar si dichos valores son o no iguales entre sí.

Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido:

${\vec {v}}_{P}={\vec {v}}_{Q}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {QP}}$

se comprueba que la primera magnitud propuesta (${\vec {v}}_{P}\cdot {\vec {\omega }}\,$) es un invariante:

${\vec {v}}_{P}\cdot {\vec {\omega }}=\left[{\vec {v}}_{Q}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {QP}}\right]\cdot {\vec {\omega }}={\vec {v}}_{Q}\cdot {\vec {\omega }}+\underbrace {\left[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {QP}}\right]\!\cdot {\vec {\omega }}} _{=\,0\,\,\mathrm {(ortogonalidad)} }={\vec {v}}_{Q}\cdot {\vec {\omega }}$

Segunda magnitud propuesta

La segunda magnitud propuesta (${\vec {\omega }}\,$) es también un invariante. No hace falta demostrarlo porque es obvio que su valor no varía de un punto a otro del sólido rígido, y además se trata del primer invariante fundamental estudiado en la teoría del tema.

Tercera magnitud propuesta

Utilizamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido:

${\vec {a}}_{P}={\vec {a}}_{Q}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}}+\,{\vec {\omega }}\times \left[\,{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {QP}}\,\right]={\vec {a}}_{Q}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}}+\left(\omega \cdot {\overrightarrow {QP}}\right){\vec {\omega }}-\left|{\vec {\omega }}\right|^{2}{\overrightarrow {QP}}$

para analizar si la tercera magnitud propuesta (${\vec {a}}_{P}\cdot {\vec {\alpha }}\,$) varía o no de valor al pasar de un punto a otro del sólido rígido:

${\vec {a}}_{P}\,\cdot \,{\vec {\alpha }}=\left[{\vec {a}}_{Q}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}}+\left(\omega \cdot {\overrightarrow {QP}}\right){\vec {\omega }}-\left|{\vec {\omega }}\right|^{2}{\overrightarrow {QP}}\right]\cdot \,{\vec {\alpha }}={\vec {a}}_{Q}\,\cdot \,{\vec {\alpha }}\,+\underbrace {\left({\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}}\right)\!\cdot {\vec {\alpha }}} _{=\,0\,\,\mathrm {(ortogonalidad)} }+\underbrace {\left(\omega \cdot {\overrightarrow {QP}}\right)\left({\vec {\omega }}\cdot {\vec {\alpha }}\right)\,-\,\left|{\vec {\omega }}\right|^{2}\left({\overrightarrow {QP}}\cdot {\vec {\alpha }}\right)} _{\neq \,0\,\,\mathrm {(en} \,\,\mathrm {general)} }$

Observamos que los dos últimos sumandos son no nulos en general, de modo que:

${\vec {a}}_{P}\cdot {\vec {\alpha }}\neq {\vec {a}}_{Q}\cdot {\vec {\alpha }}$

Por tanto, la tercera magnitud propuesta (${\vec {a}}_{P}\cdot {\vec {\alpha }}\,$) no es un invariante. Ésta es la opción correcta conforme a la pregunta planteada en el enunciado.

Cuarta magnitud propuesta

Finalmente, nos queda comprobar que la cuarta magnitud propuesta (${\vec {v}}_{P}\cdot {\vec {\alpha }}+{\vec {a}}_{P}\cdot {\vec {\omega }}\,$) es un invariante. Utilizamos la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido para investigar el comportamiento ante un cambio de punto del primero de los dos sumandos que constituyen dicha magnitud:

${\vec {v}}_{P}\cdot {\vec {\alpha }}=\left({\vec {v}}_{Q}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {QP}}\right)\cdot {\vec {\alpha }}={\vec {v}}_{Q}\cdot {\vec {\alpha }}+\underbrace {\left({\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {QP}}\right)\cdot {\vec {\alpha }}} _{(*)}$

y utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido para hacer lo propio con el segundo sumando de la magnitud:

${\vec {a}}_{P}\,\cdot \,{\vec {\omega }}=\left[{\vec {a}}_{Q}+{\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}}+{\vec {\omega }}\times \!\left(\,{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {QP}}\,\right)\right]\cdot \,{\vec {\omega }}={\vec {a}}_{Q}\,\cdot \,{\vec {\omega }}\,\,+\,\underbrace {\left({\vec {\alpha }}\times {\overrightarrow {QP}}\right)\!\cdot {\vec {\omega }}} _{(**)}\,+\underbrace {\left[\,{\vec {\omega }}\times \!\left(\,{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {QP}}\,\right)\right]\!\cdot {\vec {\omega }}} _{=\,0\,\,\mathrm {(ortogonalidad)} }$

Obsérvese que los términos que hemos marcado como (*) y (**) son opuestos entre sí, ya que una permutación no cíclica en un producto mixto equivale a un cambio de signo. Por tanto, al sumar para recuperar la cuarta magnitud propuesta, los términos (*) y (**) se cancelan mutuamente permitiéndonos concluir que en efecto ${\vec {v}}_{P}\cdot {\vec {\alpha }}+{\vec {a}}_{P}\cdot {\vec {\omega }}\,$ es un invariante:

${\vec {v}}_{P}\cdot {\vec {\alpha }}+{\vec {a}}_{P}\cdot {\vec {\omega }}={\vec {v}}_{Q}\cdot {\vec {\alpha }}+{\vec {a}}_{Q}\cdot {\vec {\omega }}$