No Boletín - Detección de invariantes (Ex.Feb/14)

Enunciado

En el contexto de la cinemática del sólido rígido, se utiliza la palabra "invariante" en un sentido espacial (no temporal). Por eso, se denomina invariante a cualquier magnitud cuyo valor no varía de un punto a otro del sólido rígido.

¿Cuál de las siguientes magnitudes no es un invariante?

1) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{P}\cdot\vec{\omega}\,}            2) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\,}            3) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{P}\cdot\vec{\alpha}\,}            4) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{P}\cdot\vec{\alpha}+\vec{a}_{P}\cdot\vec{\omega}\,}

Primera magnitud propuesta

Averiguaremos si una magnitud es o no un invariante buscando la relación entre los valores que toma dicha magnitud en dos puntos arbitrarios (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q\,} ) del sólido rígido, para así poder comprobar si dichos valores son o no iguales entre sí.

Utilizando la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{P}=\vec{v}_{Q}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP} }

se comprueba que la primera magnitud propuesta (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_P\cdot\vec{\omega}\,} ) es un invariante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{P}\cdot\vec{\omega}=\left[\vec{v}_{Q}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\right]\cdot\vec{\omega}=\vec{v}_{Q}\cdot\vec{\omega}+\underbrace{\left[\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\right]\!\cdot\vec{\omega}}_{=\,0\,\,\mathrm{(ortogonalidad)}}=\vec{v}_{Q}\cdot\vec{\omega} }

Segunda magnitud propuesta

La segunda magnitud propuesta (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\,} ) es también un invariante. No hace falta demostrarlo porque es obvio que su valor no varía de un punto a otro del sólido rígido, y además se trata del primer invariante fundamental estudiado en la teoría del tema.

Tercera magnitud propuesta

Utilizamos ahora la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{P}=\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\,\vec{\omega}\times\left[\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\,\right]=\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\left(\omega\cdot\overrightarrow{QP}\right)\vec{\omega}-\left|\vec{\omega}\right|^2\overrightarrow{QP} }

para analizar si la tercera magnitud propuesta (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{P}\cdot\vec{\alpha}\,} ) varía o no de valor al pasar de un punto a otro del sólido rígido:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{P}\,\cdot\,\vec{\alpha}=\left[\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\left(\omega\cdot\overrightarrow{QP}\right)\vec{\omega}-\left|\vec{\omega}\right|^2\overrightarrow{QP}\right]\cdot\,\vec{\alpha}=\vec{a}_{Q}\,\cdot\,\vec{\alpha}\,+\underbrace{\left(\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}\right)\!\cdot\vec{\alpha}}_{=\,0\,\,\mathrm{(ortogonalidad)}}+\underbrace{\left(\omega\cdot\overrightarrow{QP}\right)\left(\vec{\omega}\cdot\vec{\alpha}\right)\,-\,\left|\vec{\omega}\right|^2\left(\overrightarrow{QP}\cdot\vec{\alpha}\right)}_{\neq\, 0\,\,\mathrm{(en}\,\,\mathrm{general)}} }

Observamos que los dos últimos sumandos son no nulos en general, de modo que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{P}\cdot\vec{\alpha}\neq\vec{a}_{Q}\cdot\vec{\alpha} }

Por tanto, la tercera magnitud propuesta (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{P}\cdot\vec{\alpha}\,} ) no es un invariante. Ésta es la opción correcta conforme a la pregunta planteada en el enunciado.

Cuarta magnitud propuesta

Finalmente, nos queda comprobar que la cuarta magnitud propuesta (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{P}\cdot\vec{\alpha}+\vec{a}_{P}\cdot\vec{\omega}\,} ) es un invariante. Utilizamos la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido para investigar el comportamiento ante un cambio de punto del primero de los dos sumandos que constituyen dicha magnitud:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{P}\cdot\vec{\alpha}=\left(\vec{v}_{Q}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\right)\cdot\vec{\alpha}= \vec{v}_{Q}\cdot\vec{\alpha}+\underbrace{\left(\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\right)\cdot\vec{\alpha}}_{(*)} }

y utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido para hacer lo propio con el segundo sumando de la magnitud:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_{P}\,\cdot\,\vec{\omega}=\left[\vec{a}_{Q}+\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}+\vec{\omega}\times\!\left(\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\,\right)\right]\cdot\,\vec{\omega}=\vec{a}_{Q}\,\cdot\,\vec{\omega}\,\,+\,\underbrace{\left(\vec{\alpha}\times\overrightarrow{QP}\right)\!\cdot\vec{\omega}}_{(**)}\,+\underbrace{\left[\,\vec{\omega}\times\!\left(\,\vec{\omega}\times\overrightarrow{QP}\,\right)\right]\!\cdot\vec{\omega}}_{=\,0\,\,\mathrm{(ortogonalidad)}} }

Obsérvese que los términos que hemos marcado como (*) y (**) son opuestos entre sí, ya que una permutación no cíclica en un producto mixto equivale a un cambio de signo. Por tanto, al sumar para recuperar la cuarta magnitud propuesta, los términos (*) y (**) se cancelan mutuamente permitiéndonos concluir que en efecto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{P}\cdot\vec{\alpha}+\vec{a}_{P}\cdot\vec{\omega}\,} es un invariante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{P}\cdot\vec{\alpha}+\vec{a}_{P}\cdot\vec{\omega}=\vec{v}_{Q}\cdot\vec{\alpha}+\vec{a}_{Q}\cdot\vec{\omega} }