Triángulo en movimiento helicoidal

Enunciado

El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:

• Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea: ${\vec {v}}^{A}={\vec {v}}^{B}=v(t){\vec {k}}$.
• El vértice C se mueve describiendo la hélice $\Gamma$, que en el sistema OXYZ está descrita por las ecuaciones paramétricas siguientes (donde $A$ y $b$ son constantes conocidas):

${\vec {r}}(\theta )=A\cos \theta {\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\jmath }}+{\frac {b}{2\pi }}\theta {\vec {k}}$

1. Indique de forma razonada cuál es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en el movimiento descrito. Determine el vector velocidad angular en términos de los datos expresados en el enunciado.
2. Exprese, en función de los datos del enunciado, la componente normal de la aceleración del vértice C en un instante cualquiera.
3. Para el caso en que $v(t)=v_{0}\,$ (cte), y $\,b=\pi A$, calcule la aceleración del vértice C. Determine la ley horaria $s=s(t)\,$ con que el punto C describe su trayectoria.

EIRMD

El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento se caracteriza porque en cada uno de sus puntos

${\vec {v}}^{I}\parallel {\vec {\omega }}$

Por otro lado, tenemos que, dados dos puntos cualesquiera del sólido

${\vec {v}}^{B}={\vec {v}}^{A}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}$

En este caso en concreto tenemos que las velocidades de A y B son iguales por lo que

${\vec {v}}^{A}={\vec {v}}^{B}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}={\vec {0}}$

Esto quiere decir que ${\vec {\omega }}$ es paralelo a ${\overrightarrow {AB}}$ y por tanto

${\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}$

Pero esta misma dirección es la de las velocidades de A y B

${\vec {v}}^{A}={\vec {v}}^{B}=v(t){\vec {k}}\parallel {\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}$

Por tanto el EIRMD no es otro que el el eje que pasa por A y B: el eje Z.

La velocidad de deslizamiento, común a todos los puntos del sólido, será igual a la componente vertical de la velocidad de A o B

$v_{d}=v^{A}=v(t)\,$

Para determinar el vector velocidad angular del sólido, tendremos en cuenta que

${\vec {v}}^{C}={\vec {v}}^{O}+{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OC}}=v(t){\vec {k}}+\omega {\vec {k}}\times \left(A\cos \theta {\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\jmath }}+{\frac {b}{2\pi }}\theta {\vec {k}}\right)=-\omega A\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\imath }}+\omega A\cos \theta {\vec {\jmath }}+v(t){\vec {k}}$

pero también

${\vec {v}}^{C}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}^{C}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}^{C}}{\mathrm {d} \theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\left(-A\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\imath }}+A\cos \theta {\vec {\jmath }}+{\frac {b}{2\pi }}{\vec {k}}\right){\dot {\theta }}$

e igualando componentes en ambas expresiones, se llega a

${\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}={\dot {\theta }}{\vec {k}}={\frac {2\pi v(t)}{b}}{\vec {k}}$

Aceleración normal

La aceleración normal de C es igual a

${\vec {a}}_{n}^{C}={\frac {(v^{C})^{2}}{R_{\kappa }}}{\vec {N}}$

siendo $R_{\kappa }$ el radio de curvatura de la trayectoria.

La celeridad de una partícula en un movimiento helicoidal de un sólido es

$v^{C}={\sqrt {v_{d}^{2}+\omega ^{2}d^{2}}}$

siendo $d$ la distancia de la partícula al eje. Esta distancia es igual a $A$ en este caso. Sustituyendo los valores de la velocidad de deslizamiento y la velocidad angular, obtenemos la rapidez

$v^{C}={\sqrt {v^{2}+\left({\frac {2\pi v}{b}}\right)^{2}A^{2}}}={\frac {v}{b}}{\sqrt {(2\pi A)^{2}+b^{2}}}$

El radio de curvatura de una hélice no es igual a $A$, el radio del cilindro sobre el que se encuentra, sino que es igual a

$R_{\kappa }=A+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}A}}={\frac {(2\pi A)^{2}+b^{2}}{(2\pi )^{2}A}}$

Reuniendo ambos resultados obtenemos el módulo de la aceleración normal de C

$a_{n}^{C}={\frac {((2\pi A)^{2}+b^{2})(2\pi )^{2}Av^{2}}{b^{2}((2\pi A)^{2}+b^{2})}}={\frac {(2\pi )^{2}Av^{2}}{b^{2}}}$

Si deseamos esta aceleración normal en forma vectorial, debemos multiplicar por el vector normal a la trayectoria que, para una hélice, es

${\vec {N}}=-\cos \theta {\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\jmath }}$

por lo que la aceleración normal es

${\vec {a}}_{n}^{C}=-{\frac {(2\pi )^{2}v^{2}A}{b^{2}}}\left(\cos \theta {\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\jmath }}\right)$

Aceleración y ley horaria

Aceleración

Si $v(t)=v_{0}$ la celeridad del punto C es

$v^{C}={\frac {\sqrt {(2\pi A)^{2}+b^{2}}}{b}}\,v_{0}=\mathrm {cte}$

y teniendo en cuenta que $b=\,\pi A$

$v^{C}={\sqrt {5}}\,v_{0}=\mathrm {cte}$

Si la celeridad es constante, el movimiento de C es uniforme y su aceleración tangencial nula

${\vec {a}}_{t}^{C}={\frac {\mathrm {d} v^{C}}{\mathrm {d} t}}{\vec {T}}={\vec {0}}$

y por tanto toda la aceleración es normal, siendo su valor el que ya conocemos

${\vec {a}}^{C}={\vec {a}}_{n}^{C}=-{\frac {4\pi ^{2}v_{0}^{2}A}{b^{2}}}\left(\cos \theta {\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\jmath }}\right)$

y sustituyendo $b=\,\pi A$

${\vec {a}}^{C}={\vec {a}}_{n}^{C}=-{\frac {4v_{0}^{2}}{A}}\left(\cos \theta {\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} \,\theta {\vec {\jmath }}\right)$

Ley horaria

La ley horaria es inmediata, puesto que la celeridad es constante

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=v^{C}={\sqrt {5}}\,v_{0}$ ⇒ $s=s_{0}+{\sqrt {5}}\,v_{0}t$

También podemos dar como ley horaria la variación del parámetro $\theta$ con el tiempo. Utilizando la relación entre ${\dot {\theta }}$ y $v(t)$ que se obtuvo al determinar la velocidad angular, se tiene

${\dot {\theta }}={\frac {2\pi v_{0}}{b}}={\frac {2v_{0}}{A}}\qquad \Rightarrow \qquad \theta =\theta _{0}+2{\frac {v_{0}t}{A}}$

cumpliéndose la relación

$s={\frac {{\sqrt {5}}\,A}{2}}\,\theta$