No Boletín - Partícula motorizada en hélice (Ex.Ene/15)

Enunciado

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, se encuentra ensartada sin rozamiento en la hélice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\,} de la figura. Esto permite que la posición de la partícula (respecto al triedro cartesiano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXYZ\,} ) pueda describirse mediante las ecuaciones Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} -paramétricas de dicha hélice vincular:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}=\vec{r}(\theta)=R\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}+h\theta\,\vec{k} }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h\,} son constantes positivas conocidas.

Además de soportar la acción gravitatoria (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{g}\,} ) y la fuerza de reacción vincular (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}\,} ) ejercida por la hélice lisa, la partícula es empujada en sentido ascendente por una fuerza motora tangente al vínculo (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_{\mathrm{mot}}=F_{\mathrm{mot}}\overrightarrow{T}\,} ). Como resultado de todo ello, la partícula sube a lo largo de la hélice con celeridad constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0\,} , partiendo en el instante inicial (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,} ) desde la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=0\,} .

1. Halle la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)\,} con la que la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} recorre la hélice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma\,} .
2. Calcule (en función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} ) las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} , así como los vectores tangente unitario y normal principal del triedro intrínseco de su trayectoria.
3. Proyectando la ecuación de la segunda ley de Newton sobre la dirección tangente a la hélice, determine el módulo de la fuerza motora (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{\mathrm{mot}}\,} ) que actúa sobre la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} . ¿Qué trabajo total realiza dicha fuerza motora entre el instante inicial y el instante en el que la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} alcanza la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=2\pi\,} ?
4. Calcule la componente vertical del momento cinético de la partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P\,} respecto al origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} , y explique por qué dicha componente resulta independiente del tiempo.

Ley horaria

Se calcula el vector velocidad instantánea de la partícula derivando su vector de posición respecto al tiempo:

${\vec {v}}\,=\,\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\dot {\theta }}\,\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\,=\,{\dot {\theta }}\left[-R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}+h\,{\vec {k}}\,\right]$

Tras igualar a $v_{0}\,$ el módulo de este vector (pues sabemos que la partícula recorre la hélice con celeridad constante $v_{0}\,$), se despeja ${\dot {\theta }}$ (que resulta ser constante):

$v=|{\vec {v}}\,|\,=\,{\dot {\theta }}\,{\sqrt {R^{2}\,+\,h^{2}}}\,=\,v_{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\dot {\theta }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {v_{0}}{\sqrt {R^{2}\,+\,h^{2}}}}$

Separando variables e integrando entre $\,t=0\,\,$ y un instante genérico $t\,$, obtenemos la ley horaria solicitada:

$\int _{0}^{\,\theta }\,d\theta =\,\int _{0}^{\,t}\displaystyle {\frac {v_{0}}{\sqrt {R^{2}\,+\,h^{2}}}}\,dt\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\,\displaystyle {\frac {v_{0}\,t}{\sqrt {R^{2}\,+\,h^{2}}}}$

donde, al integrar en $\,\theta \,$, se ha tenido en cuenta la condición inicial conocida $\theta (0)=0\,$.

Componentes intrínsecas de la aceleración

Conocida la ley horaria $\theta (t)\,$, es posible expresar el vector velocidad instantánea de la partícula en función del tiempo:

${\vec {v}}(t)\,=\,{\frac {v_{0}}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\left[-R\,\,\mathrm {sen} \left({\frac {v_{0}\,t}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\right){\vec {\imath }}+R\,\,\mathrm {cos} \left({\frac {v_{0}\,t}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\right){\vec {\jmath }}+h\,{\vec {k}}\,\right]$

Derivando respecto al tiempo, obtenemos el vector aceleración instantánea de la partícula:

${\vec {a}}(t)\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {R\,v_{0}^{2}}{R^{2}\,+h^{2}}}\left[-\mathrm {cos} \left({\frac {v_{0}\,t}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\right){\vec {\imath }}-\mathrm {sen} \left({\frac {v_{0}\,t}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\right){\vec {\jmath }}\,\,\right]$

Pero la partícula tiene celeridad constante (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t)=v_0\,} ), y por tanto la componente tangencial de su aceleración es nula:

$a_{t}\,=\,{\dot {v}}\,=\,0$

Esto implica que toda la aceleración de la partícula es aceleración normal:

${\overrightarrow {a_{t}}}\,=\,a_{t}\,{\overrightarrow {T}}\,=\,{\vec {0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {a_{n}}}\,=\,a_{n}\,{\overrightarrow {N}}\,=\,{\vec {a}}$

Y entonces, la componente normal de la aceleración (que siempre es positiva y por eso se llama centrípeta) coincide con el módulo del vector aceleración instantánea:

$a_{n}\,=\,|{\overrightarrow {a_{n}}}|\,=\,|{\vec {a}}\,|\,=\,{\frac {R\,v_{0}^{2}}{R^{2}\,+h^{2}}}$

Triedro intrínseco

Teniendo presente la ley horaria $\theta (t)\,$, podemos reescribir en función de $\,\theta \,\,$ los vectores velocidad y aceleración instantáneas de la partícula:

${\vec {v}}\,=\,{\frac {v_{0}}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\left[-R\,\,\mathrm {sen} \left(\theta \right){\vec {\imath }}+R\,\,\mathrm {cos} \left(\theta \right){\vec {\jmath }}+h\,{\vec {k}}\,\right]\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}\,=\,{\frac {R\,v_{0}^{2}}{R^{2}\,+h^{2}}}\left[-\mathrm {cos} \left(\theta \right){\vec {\imath }}-\mathrm {sen} \left(\theta \right){\vec {\jmath }}\,\,\right]$

El vector tangente unitario se obtiene normalizando el vector velocidad instantánea:

${\overrightarrow {T}}\,=\,{\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}\,|}}\,=\,{\frac {\vec {v}}{v_{0}}}\,=\,{\frac {1}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\,\left[-R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}+h\,{\vec {k}}\,\right]$

El vector normal principal se obtiene normalizando el vector aceleración normal (que en este caso coincide con el vector aceleración instantánea):

${\overrightarrow {N}}\,=\,{\frac {\overrightarrow {a_{n}}}{a_{n}}}\,=\,{\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}\,|}}\,=\,-\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}$

Aunque el ejercicio no nos lo pide, es fácil obtener también el vector binormal que completa el triedro intrínseco:

${\overrightarrow {B}}\,=\,{\overrightarrow {T}}\times {\overrightarrow {N}}\,=\,{\frac {1}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\,\left[h\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}-h\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}+R\,{\vec {k}}\,\right]$

Fuerza motora

Sobre la partícula actúan tres fuerzas: el peso ($m{\vec {g}}\,$), la fuerza motora (${\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }\,$) y la fuerza de reacción vincular (${\vec {\Phi }}\,$). La segunda ley de Newton establece que:

$m{\vec {g}}\,+\,{\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }\,+\,{\vec {\Phi }}\,=\,m\,{\vec {a}}$

Proyectando esta ecuación sobre la dirección tangente a la hélice, es decir, multiplicándola escalarmente por el vector ${\overrightarrow {T}}\,$, se obtiene:

$m{\vec {g}}\cdot {\overrightarrow {T}}\,+\,\underbrace {{\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }\cdot {\overrightarrow {T}}} _{=F_{\mathrm {mot} }}\,+\,\underbrace {{\vec {\Phi }}\cdot {\overrightarrow {T}}} _{=0}\,=\,\underbrace {m\,{\vec {a}}\cdot {\overrightarrow {T}}} _{=0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m{\vec {g}}\cdot {\overrightarrow {T}}\,+\,F_{\mathrm {mot} }\,=\,0$

donde se ha tenido en cuenta que ${\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }\,$ es tangente al vínculo y de sentido ascendente (su componente tangencial coincide con su módulo $F_{\mathrm {mot} }\,$), que el vínculo es liso (${\vec {\Phi }}\,$ no tiene componente tangencial), y que la celeridad de la partícula es constante (su aceleración tangencial es nula).

Despejando el módulo de la fuerza motora, se obtiene un valor constante:

$F_{\mathrm {mot} }=-\,m{\vec {g}}\,\cdot \,{\vec {T}}\,=\,mg\,{\vec {k}}\,\cdot \,{\vec {T}}\,=\,{\frac {mgh}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}$

Trabajo de la fuerza motora en una vuelta de hélice

El trabajo que realiza la fuerza motora en una vuelta de hélice se puede obtener aplicando el teorema de la energía cinética, el cual dice que el trabajo neto realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula coincide con la variación de su energía cinética. En el presente caso, como la partícula se mueve con celeridad constante, no habrá variación de su energía cinética y, por tanto, el trabajo neto de todas las fuerzas será nulo:

$W_{\mathrm {tot} }\,=W_{mg}\,+\,W_{F_{\mathrm {mot} }}\,+\,\underbrace {W_{\Phi }} _{=0}\,=\,\Delta K\,=\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,W_{mg}\,+\,W_{F_{\mathrm {mot} }}\,=\,0$

donde se ha tenido en cuenta que la fuerza de reacción vincular no realiza trabajo por ser ortogonal a la trayectoria de la partícula (vínculo liso y esclerónomo).

Despejando el trabajo realizado por la fuerza motora, se obtiene:

$W_{F_{\mathrm {mot} }}\,=\,-W_{mg}\,=\,\Delta U_{mg}\,=\,mg\Delta z\,=\,mgh\Delta \theta \,=\,2\pi \,mgh$

donde se ha tenido presente que el peso es una fuerza conservativa (el trabajo que realiza el peso es igual a la variación cambiada de signo de la energía potencial asociada).

No obstante, el trabajo realizado por la fuerza motora en una vuelta de hélice también se puede calcular directamente por integración a partir de la definición de trabajo (utilizaremos el concepto de potencia mecánica):

$\,\,\,\,\,\,W_{F_{\mathrm {mot} }}\,=\int _{0}^{\,t_{2\pi }}P_{\mathrm {mot} }\,dt\,=\int _{0}^{\,t_{2\pi }}{\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }\cdot \,{\vec {v}}\,dt\,=\,F_{\mathrm {mot} }\,v_{0}\int _{0}^{\,t_{2\pi }}dt\,=\,F_{\mathrm {mot} }\,v_{0}\,t_{2\pi }\,=$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,{\frac {mgh}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\,v_{0}\,{\frac {2\pi \,{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}{v_{0}}}\,=\,2\pi \,mgh$

donde se ha tenido presente que ${\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }=F_{\mathrm {mot} }{\overrightarrow {T}}\,$ y ${\vec {v}}=v_{0}{\overrightarrow {T}}\,$, y donde el valor de $t_{2\pi }\,$ (instante en el que la partícula alcanza la posición $\theta =2\pi \,$) se ha obtenido a partir de la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)\,} .

Componente vertical del momento cinético respecto al origen de coordenadas

La componente vertical del momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas viene dada por:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}\,\cdot\,\vec{L}_O\,=\,\vec{k}\,\cdot\,(\overrightarrow{OP}\,\times m\,\vec{v})\,=\,\frac{m\,v_0}{\sqrt{R^2\,+h^2}}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ R\,\mathrm{cos}(\theta) & R\,\mathrm{sen}(\theta) & h\theta \\ -\,R\,\mathrm{sen}(\theta) & R\,\mathrm{cos}(\theta) & h \end{array}\right|\,=\,\frac{mR^2v_0}{\sqrt{R^2\,+h^2}}\,\,\,\,\,\mathrm{(cte)} }

Se observa efectivamente que dicha componente del momento cinético es independiente del tiempo (es una integral primera), lo cual se podría haber predicho a partir del teorema de conservación parcial del momento cinético, ya que la componente vertical del momento de la fuerza neta que actúa sobre la partícula respecto al origen de coordenadas es nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}\,\cdot\,\overrightarrow{M}_O\,=\,\vec{k}\,\cdot\,(\overrightarrow{OP}\,\times \overrightarrow{F})\,=\,\vec{k}\,\cdot\,(\overrightarrow{OP}\,\times\, m\,\vec{a})\,=\,\frac{mRv_0^2}{R^2\,+h^2}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ R\,\mathrm{cos}(\theta) & R\,\mathrm{sen}(\theta) & h\theta \\ -\,\mathrm{cos}(\theta) & -\,\mathrm{sen}(\theta) & 0 \end{array}\right|\,=\,0 }

A continuación, recordaremos brevemente la deducción teórica del teorema de conservación utilizado.

El teorema del momento cinético establece que la derivada temporal del momento cinético de una partícula (respecto a un punto fijo) coincide con el momento de la fuerza neta aplicada sobre ella (respecto a dicho punto fijo):

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{d\vec{L}_O}{dt}=\overrightarrow{M}_O }

Y realizando el producto escalar de esta ecuación vectorial por el vector unitario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}\,} (que es un vector constante), se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{d\left(\vec{k}\cdot\vec{L}_O\,\right)}{dt}\,=\,\vec{k}\cdot\frac{d\vec{L}_O}{dt}\,=\,\vec{k}\cdot\overrightarrow{M}_O }

Por tanto, el correspondiente teorema de conservación parcial establece que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}\cdot\vec{L}_O\,} se conserva constante en el tiempo si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}\cdot\overrightarrow{M}_O\,} es nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}\cdot\overrightarrow{M}_O\,=\,0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\frac{d\left(\vec{k}\cdot\vec{L}_O\,\right)}{dt}\,=\,0\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\vec{k}\cdot\vec{L}_O\,=\,\mathrm{cte} }