No Boletín - Partícula motorizada en hélice (Ex.Ene/15)

Enunciado

Una partícula $P\,$, de masa $m\,$, se encuentra ensartada sin rozamiento en la hélice $\Gamma \,$ de la figura. Esto permite que la posición de la partícula (respecto al triedro cartesiano $OXYZ\,$) pueda describirse mediante las ecuaciones $\theta \,$-paramétricas de dicha hélice vincular:

${\overrightarrow {OP}}={\vec {r}}(\theta )=R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}+h\theta \,{\vec {k}}$

donde $R\,$ y $h\,$ son constantes positivas conocidas.

Además de soportar la acción gravitatoria ($m{\vec {g}}\,$) y la fuerza de reacción vincular (${\vec {\Phi }}\,$) ejercida por la hélice lisa, la partícula es empujada en sentido ascendente por una fuerza motora tangente al vínculo (${\vec {F}}_{\mathrm {mot} }=F_{\mathrm {mot} }{\overrightarrow {T}}\,$). Como resultado de todo ello, la partícula sube a lo largo de la hélice con celeridad constante $v_{0}\,$, partiendo en el instante inicial ($t=0\,$) desde la posición $\theta =0\,$.

1. Halle la ley horaria $\theta (t)\,$ con la que la partícula $P\,$ recorre la hélice $\Gamma \,$.
2. Calcule (en función de $\theta \,$) las componentes tangencial y normal de la aceleración de la partícula $P\,$, así como los vectores tangente unitario y normal principal del triedro intrínseco de su trayectoria.
3. Proyectando la ecuación de la segunda ley de Newton sobre la dirección tangente a la hélice, determine el módulo de la fuerza motora ($F_{\mathrm {mot} }\,$) que actúa sobre la partícula $P\,$. ¿Qué trabajo total realiza dicha fuerza motora entre el instante inicial y el instante en el que la partícula $P\,$ alcanza la posición $\theta =2\pi \,$?
4. Calcule la componente vertical del momento cinético de la partícula $P\,$ respecto al origen de coordenadas $O\,$, y explique por qué dicha componente resulta independiente del tiempo.

Ley horaria

Se calcula el vector velocidad instantánea de la partícula derivando su vector de posición respecto al tiempo:

${\vec {v}}\,=\,\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\dot {\theta }}\,\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}\,=\,{\dot {\theta }}\left[-R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}+h\,{\vec {k}}\,\right]$

Tras igualar a $v_{0}\,$ el módulo de este vector (pues sabemos que la partícula recorre la hélice con celeridad constante $v_{0}\,$), se despeja ${\dot {\theta }}$ (que resulta ser constante):

$v=|{\vec {v}}\,|\,=\,{\dot {\theta }}\,{\sqrt {R^{2}\,+\,h^{2}}}\,=\,v_{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\dot {\theta }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {v_{0}}{\sqrt {R^{2}\,+\,h^{2}}}}$

Separando variables e integrando entre $\,t=0\,\,$ y un instante genérico $t\,$, obtenemos la ley horaria solicitada:

$\int _{0}^{\,\theta }\,d\theta =\,\int _{0}^{\,t}\displaystyle {\frac {v_{0}}{\sqrt {R^{2}\,+\,h^{2}}}}\,dt\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\theta (t)=\,\displaystyle {\frac {v_{0}\,t}{\sqrt {R^{2}\,+\,h^{2}}}}$

donde, al integrar en $\,\theta \,$, se ha tenido en cuenta la condición inicial conocida $\theta (0)=0\,$.

Componentes intrínsecas de la aceleración

Conocida la ley horaria $\theta (t)\,$, es posible expresar el vector velocidad instantánea de la partícula en función del tiempo:

${\vec {v}}(t)\,=\,{\frac {v_{0}}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\left[-R\,\,\mathrm {sen} \left({\frac {v_{0}\,t}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\right){\vec {\imath }}+R\,\,\mathrm {cos} \left({\frac {v_{0}\,t}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\right){\vec {\jmath }}+h\,{\vec {k}}\,\right]$

Derivando respecto al tiempo, obtenemos el vector aceleración instantánea de la partícula:

${\vec {a}}(t)\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {R\,v_{0}^{2}}{R^{2}\,+h^{2}}}\left[-\mathrm {cos} \left({\frac {v_{0}\,t}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\right){\vec {\imath }}-\mathrm {sen} \left({\frac {v_{0}\,t}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\right){\vec {\jmath }}\,\,\right]$

Pero la partícula tiene celeridad constante ($v(t)=v_{0}\,$), y por tanto la componente tangencial de su aceleración es nula:

$a_{t}\,=\,{\dot {v}}\,=\,0$

Esto implica que toda la aceleración de la partícula es aceleración normal:

${\overrightarrow {a_{t}}}\,=\,a_{t}\,{\overrightarrow {T}}\,=\,{\vec {0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {a_{n}}}\,=\,a_{n}\,{\overrightarrow {N}}\,=\,{\vec {a}}$

Y entonces, la componente normal de la aceleración (que siempre es positiva y por eso se llama centrípeta) coincide con el módulo del vector aceleración instantánea:

$a_{n}\,=\,|{\overrightarrow {a_{n}}}|\,=\,|{\vec {a}}\,|\,=\,{\frac {R\,v_{0}^{2}}{R^{2}\,+h^{2}}}$

Triedro intrínseco

Teniendo presente la ley horaria $\theta (t)\,$, podemos reescribir en función de $\,\theta \,\,$ los vectores velocidad y aceleración instantáneas de la partícula:

${\vec {v}}\,=\,{\frac {v_{0}}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\left[-R\,\,\mathrm {sen} \left(\theta \right){\vec {\imath }}+R\,\,\mathrm {cos} \left(\theta \right){\vec {\jmath }}+h\,{\vec {k}}\,\right]\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}\,=\,{\frac {R\,v_{0}^{2}}{R^{2}\,+h^{2}}}\left[-\mathrm {cos} \left(\theta \right){\vec {\imath }}-\mathrm {sen} \left(\theta \right){\vec {\jmath }}\,\,\right]$

El vector tangente unitario se obtiene normalizando el vector velocidad instantánea:

${\overrightarrow {T}}\,=\,{\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}\,|}}\,=\,{\frac {\vec {v}}{v_{0}}}\,=\,{\frac {1}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\,\left[-R\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}+R\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}+h\,{\vec {k}}\,\right]$

El vector normal principal se obtiene normalizando el vector aceleración normal (que en este caso coincide con el vector aceleración instantánea):

${\overrightarrow {N}}\,=\,{\frac {\overrightarrow {a_{n}}}{a_{n}}}\,=\,{\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}\,|}}\,=\,-\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}-\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}$

Aunque el ejercicio no nos lo pide, es fácil obtener también el vector binormal que completa el triedro intrínseco:

${\overrightarrow {B}}\,=\,{\overrightarrow {T}}\times {\overrightarrow {N}}\,=\,{\frac {1}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\,\left[h\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}-h\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}+R\,{\vec {k}}\,\right]$

Fuerza motora

Sobre la partícula actúan tres fuerzas: el peso ($m{\vec {g}}\,$), la fuerza motora (${\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }\,$) y la fuerza de reacción vincular (${\vec {\Phi }}\,$). La segunda ley de Newton establece que:

$m{\vec {g}}\,+\,{\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }\,+\,{\vec {\Phi }}\,=\,m\,{\vec {a}}$

Proyectando esta ecuación sobre la dirección tangente a la hélice, es decir, multiplicándola escalarmente por el vector ${\overrightarrow {T}}\,$, se obtiene:

$m{\vec {g}}\cdot {\overrightarrow {T}}\,+\,\underbrace {{\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }\cdot {\overrightarrow {T}}} _{=F_{\mathrm {mot} }}\,+\,\underbrace {{\vec {\Phi }}\cdot {\overrightarrow {T}}} _{=0}\,=\,\underbrace {m\,{\vec {a}}\cdot {\overrightarrow {T}}} _{=0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m{\vec {g}}\cdot {\overrightarrow {T}}\,+\,F_{\mathrm {mot} }\,=\,0$

donde se ha tenido en cuenta que ${\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }\,$ es tangente al vínculo y de sentido ascendente (su componente tangencial coincide con su módulo $F_{\mathrm {mot} }\,$), que el vínculo es liso (${\vec {\Phi }}\,$ no tiene componente tangencial), y que la celeridad de la partícula es constante (su aceleración tangencial es nula).

Despejando el módulo de la fuerza motora, se obtiene un valor constante:

$F_{\mathrm {mot} }=-\,m{\vec {g}}\,\cdot \,{\vec {T}}\,=\,mg\,{\vec {k}}\,\cdot \,{\vec {T}}\,=\,{\frac {mgh}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}$

Trabajo de la fuerza motora en una vuelta de hélice

El trabajo que realiza la fuerza motora en una vuelta de hélice se puede obtener aplicando el teorema de la energía cinética, el cual dice que el trabajo neto realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula coincide con la variación de su energía cinética. En el presente caso, como la partícula se mueve con celeridad constante, no habrá variación de su energía cinética y, por tanto, el trabajo neto de todas las fuerzas será nulo:

$W_{\mathrm {tot} }\,=W_{mg}\,+\,W_{F_{\mathrm {mot} }}\,+\,\underbrace {W_{\Phi }} _{=0}\,=\,\Delta K\,=\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,W_{mg}\,+\,W_{F_{\mathrm {mot} }}\,=\,0$

donde se ha tenido en cuenta que la fuerza de reacción vincular no realiza trabajo por ser ortogonal a la trayectoria de la partícula (vínculo liso y esclerónomo).

Despejando el trabajo realizado por la fuerza motora, se obtiene:

$W_{F_{\mathrm {mot} }}\,=\,-W_{mg}\,=\,\Delta U_{mg}\,=\,mg\Delta z\,=\,mgh\Delta \theta \,=\,2\pi \,mgh$

donde se ha tenido presente que el peso es una fuerza conservativa (el trabajo que realiza el peso es igual a la variación cambiada de signo de la energía potencial asociada).

No obstante, el trabajo realizado por la fuerza motora en una vuelta de hélice también se puede calcular directamente por integración a partir de la definición de trabajo (utilizaremos el concepto de potencia mecánica):

$W_{F_{\mathrm {mot} }}\,=\int _{0}^{\,t_{2\pi }}P_{\mathrm {mot} }\,dt\,=\int _{0}^{\,t_{2\pi }}{\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }\cdot \,{\vec {v}}\,dt\,=\,F_{\mathrm {mot} }\,v_{0}\int _{0}^{\,t_{2\pi }}dt\,=\,F_{\mathrm {mot} }\,v_{0}\,t_{2\pi }\,=\,{\frac {mgh}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\,v_{0}\,{\frac {2\pi \,{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}{v_{0}}}\,=\,2\pi \,mgh$

donde se ha tenido presente que ${\overrightarrow {F}}_{\mathrm {mot} }=F_{\mathrm {mot} }{\overrightarrow {T}}\,$ y ${\vec {v}}=v_{0}{\overrightarrow {T}}\,$, y donde el valor de $t_{2\pi }\,$ (instante en el que la partícula alcanza la posición $\theta =2\pi \,$) se ha obtenido a partir de la ley horaria $\theta (t)\,$.

Componente vertical del momento cinético respecto al origen de coordenadas

La componente vertical del momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas viene dada por:

${\vec {k}}\,\cdot \,{\vec {L}}_{O}\,=\,{\vec {k}}\,\cdot \,({\overrightarrow {OP}}\,\times m\,{\vec {v}})\,=\,{\frac {m\,v_{0}}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\left|{\begin{array}{ccc}0&0&1\\R\,\mathrm {cos} (\theta )&R\,\mathrm {sen} (\theta )&h\theta \\-\,R\,\mathrm {sen} (\theta )&R\,\mathrm {cos} (\theta )&h\end{array}}\right|\,=\,{\frac {mR^{2}v_{0}}{\sqrt {R^{2}\,+h^{2}}}}\,\,\,\,\,\mathrm {(cte)}$

Se observa efectivamente que dicha componente del momento cinético es independiente del tiempo (es una integral primera), lo cual se podría haber predicho a partir del teorema de conservación parcial del momento cinético, ya que la componente vertical del momento de la fuerza neta que actúa sobre la partícula respecto al origen de coordenadas es nula:

${\vec {k}}\,\cdot \,{\overrightarrow {M}}_{O}\,=\,{\vec {k}}\,\cdot \,({\overrightarrow {OP}}\,\times {\overrightarrow {F}})\,=\,{\vec {k}}\,\cdot \,({\overrightarrow {OP}}\,\times \,m\,{\vec {a}})\,=\,{\frac {mRv_{0}^{2}}{R^{2}\,+h^{2}}}\left|{\begin{array}{ccc}0&0&1\\R\,\mathrm {cos} (\theta )&R\,\mathrm {sen} (\theta )&h\theta \\-\,\mathrm {cos} (\theta )&-\,\mathrm {sen} (\theta )&0\end{array}}\right|\,=\,0$

A continuación, recordaremos brevemente la deducción teórica del teorema de conservación utilizado.

El teorema del momento cinético establece que la derivada temporal del momento cinético de una partícula (respecto a un punto fijo) coincide con el momento de la fuerza neta aplicada sobre ella (respecto a dicho punto fijo):

${\frac {d{\vec {L}}_{O}}{dt}}={\overrightarrow {M}}_{O}$

Y realizando el producto escalar de esta ecuación vectorial por el vector unitario ${\vec {k}}\,$ (que es un vector constante), se obtiene:

${\frac {d\left({\vec {k}}\cdot {\vec {L}}_{O}\,\right)}{dt}}\,=\,{\vec {k}}\cdot {\frac {d{\vec {L}}_{O}}{dt}}\,=\,{\vec {k}}\cdot {\overrightarrow {M}}_{O}$

Por tanto, el correspondiente teorema de conservación parcial establece que ${\vec {k}}\cdot {\vec {L}}_{O}\,$ se conserva constante en el tiempo si ${\vec {k}}\cdot {\overrightarrow {M}}_{O}\,$ es nula:

${\vec {k}}\cdot {\overrightarrow {M}}_{O}\,=\,0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\frac {d\left({\vec {k}}\cdot {\vec {L}}_{O}\,\right)}{dt}}\,=\,0\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,{\vec {k}}\cdot {\vec {L}}_{O}\,=\,\mathrm {cte}$