Velocidad instantánea en tres puntos (MR G.I.C.)

Enunciado

En un determinado instante, tres puntos de un sólido rígido en movimiento ocupan las posiciones dadas por

$O(0,0,0);\qquad A(0,a,0);\qquad B(1,0,2a).$

Las velocidades instantáneas de esos puntos, medidas en el mismo sistema de referencia son:

${\vec {v}}^{O}=v_{0}\,{\vec {\imath }};\qquad {\vec {v}}^{A}={\dfrac {v_{0}}{2}}\,{\vec {k}};\qquad {\vec {v}}^{B}=v_{0}\,({\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}).$

1. Calcula la reducción cinemática en el punto $O$ de dicho movimiento instantáneo y averigua de qué tipo de movimiento se trata.
2. Calcula el vector velocidad instantánea de los puntos con velocidad mínima.
3. Obtén las expresión vectorial del lugar geométrico formado por los puntos con velocidad mínima.

Solución

Reducción cinemática

Vamos a comprobar primero que las velocidades son equiproyectivas. Los vectores que unen los puntos son

${\overrightarrow {OA}}=[0,a,0],\qquad {\overrightarrow {OB}}=[0,0,2a],\qquad {\overrightarrow {AB}}=[0,-a,2a].$

Tenemos

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}^{O}\cdot {\overrightarrow {OA}}=0\\{\vec {v}}^{A}\cdot {\overrightarrow {OA}}=0\end{array}}\right|\Longrightarrow {\vec {v}}^{O}\cdot {\overrightarrow {OA}}={\vec {v}}^{A}\cdot {\overrightarrow {OA}}$

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}^{O}\cdot {\overrightarrow {OB}}=0\\{\vec {v}}^{B}\cdot {\overrightarrow {OB}}=0\end{array}}\right|\Longrightarrow {\vec {v}}^{O}\cdot {\overrightarrow {OB}}={\vec {v}}^{B}\cdot {\overrightarrow {OB}}$

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}^{A}\cdot {\overrightarrow {AB}}=av_{0}\\{\vec {v}}^{B}\cdot {\overrightarrow {AB}}=av_{0}\end{array}}\right|\Longrightarrow {\vec {v}}^{A}\cdot {\overrightarrow {AB}}={\vec {v}}^{B}\cdot {\overrightarrow {AB}}$

Vemos que las velocidades son compatibles con un movimiento instantáneo del sólido rígido.

Para obtener la reducción cinemática necesitamos calcular el vector rotación. Vamos a hacerlo a partir del Teorema de Chasles. El vector rotación será de la forma

${\vec {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}].$

Utilizamos el Teorema de Chasles para relacionar las velocidades en $O$ y $A$

${\vec {v}}^{A}-{\vec {v}}^{O}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OA}}$

Tenemos

${\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OA}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\omega _{x}&\omega _{y}&\omega _{z}\\0&a&0\end{array}}\right|=\left[{\begin{array}{c}-a\omega _{z}\\0\\a\omega _{x}\end{array}}\right]$

Tenemos entonces

$\left[{\begin{array}{c}-v_{0}\\0\\v_{0}/2\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}-a\omega _{z}\\0\\a\omega _{x}\end{array}}\right]\Longrightarrow {\begin{array}{l}\omega _{z}=v_{0}/a\\\omega _{x}=v_{0}/2a\end{array}}$

Relacionamos ahora las velocidades en $O$ y $B$

${\vec {v}}^{B}-{\vec {v}}^{O}={\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OB}}$

Tenemos

${\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {OB}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\\omega _{x}&\omega _{y}&\omega _{z}\\0&0&2a\end{array}}\right|=\left[{\begin{array}{c}2a\omega _{y}\\-2a\omega _{x}\\0\end{array}}\right]$

Tenemos entonces

$\left[{\begin{array}{c}0\\-v_{0}\\0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}2a\omega _{y}\\-2a\omega _{x}\\0\end{array}}\right]\Longrightarrow {\begin{array}{l}\omega _{y}=0\end{array}}$

El vector rotación instantánea es

${\vec {\omega }}=[v_{0}/2a,0,v_{0}/a]$

y la reducción cinemática en $O$ es

$R(O)=\{{\vec {\omega }},{\vec {v}}^{O}\}.$

Como ${\vec {\omega }}\neq {\vec {0}}$, el movimiento es una rotación o un movimiento helicoidal. Para discriminar tenemos que saber si el invariante escalar es o no nulo.

${\vec {v}}^{O}\cdot {\vec {\omega }}=v_{0}^{2}/2a\neq 0$

Por tanto, se trata de un movimiento helicoidal.

Velocidad mínima

El vector velocidad mínima es la proyección de la velocidad en cualquier punto del sólido sobre la dirección del vector rotación:

${\vec {v}}^{\,\mathrm {min} }=\left({\dfrac {{\vec {v}}^{O}\cdot {\vec {\omega }}}{|{\vec {\omega }}|}}\right)\,{\dfrac {\vec {\omega }}{|{\vec {\omega }}|}}=[v_{0}/5,0,2v_{0}/5]$

Eje instantáneo

El lugar geométrico que se pide es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento. A partir de la reducción cinemática podemos encontrar un punto de este eje con la expresión

${\overrightarrow {OI^{*}}}={\dfrac {{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}^{O}}{|{\vec {\omega }}|^{2}}}=[0,4a/5,0]$

Por tanto, la ecuación vectorial del eje es

${\overrightarrow {OI}}={\overrightarrow {OI^{*}}}+\lambda \,{\vec {\omega }}=\left[{\dfrac {\lambda v_{0}}{2a}},{\dfrac {4a}{5}},{\dfrac {\lambda v_{0}}{a}}\right]$

con $\lambda \in (-\infty ,+\infty )$.