Enunciado
En un determinado instante, tres puntos de un sólido rígido en movimiento ocupan las posiciones dadas por
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O(0,0,0); \qquad A(0,a,0); \qquad B(1,0,2a). }
Las velocidades instantáneas de esos puntos, medidas en el mismo sistema de referencia son:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O = v_0\,\vec{\imath}; \qquad \vec{v}^A=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{k}; \qquad \vec{v}^B=v_0\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath}). }
- Calcula la reducción cinemática en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } de dicho movimiento instantáneo y averigua de qué tipo de movimiento se trata.
- Calcula el vector velocidad instantánea de los puntos con velocidad mínima.
- Obtén las expresión vectorial del lugar geométrico formado por los puntos con velocidad mínima.
Solución
Reducción cinemática
Vamos a comprobar primero que las velocidades son equiproyectivas. Los vectores que unen los puntos son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA} = [0,a,0], \qquad \overrightarrow{OB} = [0,0,2a], \qquad \overrightarrow{AB} = [0,-a,2a]. }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OA} = 0 \\ \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{OA} = 0 \end{array} \right| \Longrightarrow \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OA} = \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{OA} }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OB} = 0 \\ \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{OB} = 0 \end{array} \right| \Longrightarrow \vec{v}^O\cdot\overrightarrow{OB} = \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{OB} }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB} = av_0 \\ \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB} = av_0 \end{array} \right| \Longrightarrow \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB} = \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB} }
Vemos que las velocidades son compatibles con un movimiento instantáneo del sólido rígido.
Para obtener la reducción cinemática necesitamos calcular el vector rotación. Vamos a hacerlo a partir del Teorema de Chasles. El vector rotación será de la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega} = [\omega_x, \omega_y, \omega_z]. }
Utilizamos el Teorema de Chasles para relacionar las velocidades en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A - \vec{v}^O = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA} }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\times\overrightarrow{OA} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ 0 & a & 0 \end{array} \right| = \left[ \begin{array}{c} -a\omega_z \\ 0 \\ a \omega_x \end{array} \right] }
Tenemos entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[ \begin{array}{c} -v_0 \\ 0 \\ v_0/2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -a\omega_z \\ 0 \\ a \omega_x \end{array} \right] \Longrightarrow \begin{array}{l} \omega_z = v_0/a \\ \omega_x = v_0/2a \end{array} }
Relacionamos ahora las velocidades en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B }
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^B - \vec{v}^O = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB} }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\times\overrightarrow{OB} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ 0 & 0 & 2a \end{array} \right| = \left[ \begin{array}{c} 2a\omega_y \\ -2a \omega_x \\ 0 \end{array} \right] }
Tenemos entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -v_0 \\ 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2a\omega_y \\ -2a \omega_x \\0 \end{array} \right] \Longrightarrow \begin{array}{l} \omega_y = 0 \end{array} }
El vector rotación instantánea es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega} = [v_0/2a, 0, v_0/a] }
y la reducción cinemática en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R(O) = \{\vec{\omega}, \vec{v}^O\}. }
Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}\neq\vec{0} } , el movimiento es una rotación o un movimiento helicoidal. Para discriminar tenemos que saber si el invariante escalar es o no nulo.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^O\cdot\vec{\omega} = v_0^2/2a\neq 0 }
Por tanto, se trata de un movimiento helicoidal.
Velocidad mínima
El vector velocidad mínima es la proyección de la velocidad en cualquier punto del sólido sobre la dirección del vector rotación:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,\mathrm{min}} = \left(\dfrac{\vec{v}^O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}\right)\,\dfrac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|} = [v_0/5, 0, 2v_0/5] }
Eje instantáneo
El lugar geométrico que se pide es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento. A partir de la reducción cinemática podemos encontrar un punto de este eje con la expresión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI^*} = \dfrac{\vec{\omega}\times\vec{v}^O}{|\vec{\omega}|^2} = [0,4a/5,0] }
Por tanto, la ecuación vectorial del eje es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OI^*} + \lambda\,\vec{\omega}= \left[\dfrac{\lambda v_0}{2a}, \dfrac{4a}{5}, \dfrac{\lambda v_0}{a}\right] }
con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda\in(-\infty, +\infty) } .
