Movimiento bajo fuerza central en polares

Enunciado

Sea una partícula $P$ de masa $m$ cuyo movimiento en el plano OXY se describe mediante coordenadas polares.

1. Deduzca la expresión de su velocidad areolar respecto al origen de coordenadas $O$, y compruebe que la misma es constante en el tiempo si el movimiento transcurre bajo la acción de una fuerza central en $O$.
2. Sabiendo que la partícula recorre la espiral $\rho =\rho _{0}e^{\theta }\,$ sometida a una fuerza central en $O$ y con condiciones iniciales $\theta (0)=0\,$ y ${\dot {\theta }}(0)=\omega _{0}$, determine las ecuaciones horarias $\rho =\rho (t)\,$ y $\theta =\theta (t)\,$.

Expresión general de la velocidad areolar

Sustituyendo las expresiones generales (en coordenadas polares) de los vectores de posición y velocidad de una partícula

${\begin{array}{rcl}{\vec {r}}&=&\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {v}}&=&{\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}$

en la definición de la velocidad areolar de la partícula respecto al origen de coordenadas $O\,$, se obtiene

${\vec {V}}_{A}={\frac {1}{2}}\,{\vec {r}}\times {\vec {v}}={\frac {1}{2}}\,\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\times ({\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta })={\frac {1}{2}}\,\rho ^{2}{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}$

Conservación de la velocidad areolar

Teniendo en cuenta que la dirección del vector velocidad areolar es constante (dirección perpendicular al plano del movimiento), es evidente que la citada magnitud vectorial se conservará constante en el tiempo si y sólo si es constante la velocidad areolar escalar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{V}_A=V_A\,\vec{k}=\frac{1}{2}\,\rho^2\dot{\theta}\,\vec{k}=\overrightarrow{\mathrm{cte}}\,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\,\,\,V_A=\frac{1}{2}\,\rho^2\dot{\theta}=\mathrm{cte} }

Ahora bien, derivando respecto al tiempo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_{\! A}} se obtiene

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}V_A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\,\frac{\mathrm{d}(\rho^2\dot{\theta})}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\,(2\rho\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho^2\ddot{\theta})=\frac{\rho}{2}\,(2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta})=\frac{\rho}{2}\,a_{\theta} }

Comprobamos, por tanto, que la conservación de la velocidad areolar como una magnitud constante a lo largo del tiempo se produce si y sólo si la componente acimutal de la aceleración es permanentemente nula, lo cual conlleva de forma obvia la centralidad de la fuerza respecto al origen de coordenadas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_A=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\,\,\,\frac{\mathrm{d}V_A}{\mathrm{d}t}=0\,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\,\,\,a_{\theta}=0\,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\,\,\,\vec{F}=m\vec{a}=ma_{\rho}\,\vec{u}_{\rho}=F_{\rho}\,\vec{u}_{\rho}}

Obsérvese que la conservación de la velocidad areolar está intímamente ligada a la conservación del momento cinético (respecto al mismo punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} ), ya que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O=\vec{r}\times m\vec{v}=2m\vec{V}_A}

siendo la propiedad de paralelismo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}\parallel\vec{r}} , propia de las fuerzas centrales en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} , la que provoca que tanto el momento cinético como la velocidad areolar respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} sean constantes.

Ecuaciones horarias

Como nos dicen que la partícula recorre la espiral bajo la acción de una fuerza central en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O\,} , tenemos garantizado que la velocidad areolar escalar es una constante, pudiéndose evaluar el valor de dicha constante a partir de las condiciones iniciales dadas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\dot{\theta}(0)=\omega_0 \\ \rho(0)=\rho_0\,e^{\theta(0)}=\rho_0\,e^{0}=\rho_0 \end{array}\right|\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\, V_A=\frac{1}{2}\,\rho^2\dot{\theta}=\mathrm{cte}=\frac{1}{2}\,[\rho(0)]^2\dot{\theta}(0)=\frac{1}{2}\,\rho_0^2\omega_0}

Prescindiendo del factor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1/2} en ambos miembros de la ecuación anterior, expresando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho\,} como función de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} (ecuación de la trayectoria), separando las variables Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} , y finalmente integrando entre el instante inicial y un instante genérico, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho^2\dot{\theta}=\rho_0^2\omega_0\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\rho_0^2e^{2\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\rho_0^2\omega_0\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,e^{2\theta}\mathrm{d}\theta=\omega_0\mathrm{d}t\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\int_{0}^{\theta}e^{2\theta}\mathrm{d}\theta=\omega_0\int_{0}^{t}\mathrm{d}t\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,\frac{e^{2\theta}-1}{2}=\omega_0t}

de donde, despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta\,} , se llega a la ecuación horaria acimutal:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(t)=\frac{1}{2}\,\mathrm{ln}(1+2\omega_0t)}

y, sustituyendo ésta en la ecuación de la espiral (trayectoria), se obtiene la ecuación horaria radial:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho(t)=\rho_0e^{\mathrm{ln}(\sqrt{1+2\omega_0t}\,)}=\rho_0\sqrt{1+2\omega_0t}}