No Boletín - Rotación y traslación terrestres

Enunciado

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con velocidad angular $\omega$ constante. Encuentre en función de la latitud $\lambda$, la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre, debidas a dicha rotación (radio de la Tierra: $R=6370\,\mathrm {km}$)

Compare los módulos de los valores anteriores para el caso de un punto en el Ecuador, con los correspondientes al movimiento de traslación alrededor del Sol (distancia Tierra-Sol aproximadamente constante e igual a $d=0.15\,\mathrm {Tm}$).

Movimiento de rotación

Cada punto de un sólido en rotación uniforme describe un movimiento circular uniforme, con velocidad y aceleración

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e})$    ${\vec {a}}={\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{e})]$

siendo ${\vec {r}}_{e}$ el vector de posición de un punto del eje de rotación, que en el caso de la rotación terrestre podemos tomar el centro de la Tierra, considerado asimismo como origen de coordenadas (${\vec {r}}_{e}={\vec {0}}$).

Para hallar estos valores empleando álgebra vectorial tenemos una velocidad angular de la forma

${\vec {\omega }}=\omega {\vec {k}}$

y como vector de posición nos vale cualquiera situado a una latitud $\lambda$, siendo el más sencillo

${\vec {r}}=R_{T}\,\cos(\lambda ){\vec {\imath }}+R_{T}\,\mathrm {sen} (\lambda ){\vec {k}}$

También se pueden hallar estos valores empleando razonamientos geométricos más directos.

Velocidad

La dirección de la velocidad es tangente a la superficie en cada punto y dirigida hacia el este. El módulo de esta velocidad es

$v=|{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}|=\omega R_{T}\,\mathrm {sen} (\theta )$

Aquí $\theta$ es el ángulo que forman la velocidad angular, que va en la dirección del eje terrestre, con el vector de posición de cada punto. Este ángulo es la colatitud, complementaria de la latitud

$\theta ={\frac {\pi }{2}}-\lambda$ ⇒ $\mathrm {sen} (\theta )=\cos(\lambda )\,$

lo que nos da la celeridad

$v=\omega R_{T}\cos(\lambda )\,$

Aquí, $R_{T}$ es el radio terrestre, mientras que $\omega$ se obtiene a partir del periodo de rotación terrestre

$R_{T}=6370\,\mathrm {km} \times {\frac {1000\,\mathrm {m} }{1\,\mathrm {km} }}=6.37\times 10^{6}\,\mathrm {m}$    $\omega ={\frac {2\pi }{T}}={\frac {2\pi \,\mathrm {rad} }{1\,\mathrm {d} }}\times {\frac {1\,\mathrm {d} }{86400\,\mathrm {s} }}=7.27\times 10^{-5}\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Esto nos da el valor numérico para la celeridad

$v=463\cos(\lambda )\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Esta rapidez alcanza un valor máximo en el Ecuador, donde es próxima a medio kilómetro por segundo, y nula en los polos.

Alternativamente, la rapidez puede calcularse como

$v=\omega R(\lambda )\,$

donde $R(\lambda )$ no es el radio terrestre, sino el radio de la circunferencia que describe cada punto, dependiente de su latitud:

$R(\lambda )=R_{T}\cos(\lambda )\,$

Aceleración

En un movimiento circular uniforme, toda la aceleración es normal e igual, en módulo, a

$a={\frac {v^{2}}{R(\lambda )}}=\omega ^{2}R(\lambda )=\omega ^{2}R_{T}\cos(\lambda )$

Alternativamente, podemos llegar a esta expresión partiendo de

${\vec {a}}=\omega \times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$

Sustituyendo los valores numéricos

$a=3.37\times 10^{-2}\cos(\lambda ){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

De nuevo se alcanza el valor máximo en el Ecuador y se anula en los polos.

La dirección y el sentido de la aceleración de cada punto es radial y hacia adentro de la circunferencia que describe, que no es el centro de la Tierra, sino el punto del eje terrestre situado en la misma latitud.

Movimiento de traslación

Para el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol las fórmulas son las mismas sin más que cambiar el radio por el de la órbita terrestre, la velocidad angular por la de una rotación de un año de periodo y la latitud se toma como cero por estar la órbita terrestre en un plano ecuatorial (que en el caso del Sistema Solar se llama el plano de la eclíptica -que no elíptica-).

Esto nos da

$R=0.15\,\mathrm {Tm} =1.5\times 10^{11}\,\mathrm {m}$    $\omega ={\frac {2\pi \,\mathrm {rad} }{1\,\mathrm {yr} }}\times {\frac {1\,\mathrm {yr} }{365.25\,\mathrm {d} }}\times {\frac {1\,\mathrm {d} }{86400\,\mathrm {s} }}=1.99\times 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

Esto nos da la velocidad

$v=\omega R=3.0\times 10^{4}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=30\,{\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {s} }}$

y la aceleración

$a=\omega ^{2}R=5.9\times 10^{-3}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}$

La velocidad de traslación es mucho mayor que la de rotación

${\frac {v_{T}}{v_{R}}}={\frac {30000}{463}}=65$

pero la aceleración correspondiente es mucho más pequeña

${\frac {a_{T}}{a_{R}}}={\frac {5.9\times 10^{-3}}{3.37\times 10^{-2}}}=0.17$

Ambas aceleraciones son muy pequeñas comparadas con la de la gravedad en la superficie terrestre

${\frac {a_{R}}{g}}={\frac {3.37\times 10^{-2}}{9.81}}=3.43\times 10^{-3}$    ${\frac {a_{T}}{g}}={\frac {5.9\times 10^{-3}}{9.81}}=6.1\times 10^{-4}$

Por ello, al estudiar el movimiento de un cuerpo en la superficie terrestre, en primera aproximación puede despreciarse el efecto de la rotación terrestre y aun más el de la traslación terrestre, pues suponen correcciones en el tercer y el cuarto decimal de los resultados que se obtengan.