Enunciado
Una partícula, inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una aceleración creciente en el tiempo según la fórmula:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=3C t^2\,\vec{\jmath} }
siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C\,}
una constante de valor igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\,\mathrm{m/s}^4\,}
.
¿A qué distancia del origen de coordenadas se hallará la partícula en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=2\,\mathrm{s}\,}
?
Solución
Conforme a las definiciones de velocidad instantánea y aceleración instantánea, podemos escribir:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=3C t^2\,\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\, (\mathrm{para}\,\, t>0)}
Conocemos también las condiciones iniciales de posición y velocidad:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(0)=\vec{0}\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(0)=\vec{0}\,\mathrm{m/s}}
Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>0\,}
se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lllllll}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=3C t^2\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{v}=3\,C t^2\,\mathrm{d}t\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=3\,C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^2\,\mathrm{d}t\right)\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=Ct^3\,\vec{\jmath} \\ \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=Ct^3\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \mathrm{d}\vec{r}=Ct^3\,\mathrm{d}t\,\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)}\!\mathrm{d}\vec{r}=C\left(\displaystyle\int_{0}^{t}\!t^3\,\mathrm{d}t\right)\vec{\jmath} & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{r}(t)=\displaystyle\frac{Ct^4}{4}\,\vec{\jmath}\end{array} }
En el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=2\,\mathrm{s}\,}
, la posición de la partícula es por tanto:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\displaystyle\frac{(1\,\,\mathrm{m/s}^4)(16\,\,\mathrm{s}^4)}{4}\,\vec{\jmath}=4\,\vec{\jmath}\,\,\,\mathrm{m} }
y su distancia al origen de coordenadas en dicho instante es:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{r}\,|=|4\,\vec{\jmath}\,|\,\,\mathrm{m}=4\,\,\mathrm{m} }
