No Boletín - Otro tiro parabólico III (Ex.Oct/18)

Enunciado

Un proyectil se mueve en el plano vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXZ\,} . Se sabe que tiene una aceleración constante (de módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g\,} ) debida a la gravedad, y que su posición y su velocidad iniciales son las correspondientes a un lanzamiento desde el origen de coordenadas con celeridad inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{0}\,} y con un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_0\,} sobre el eje horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX\,} (siendo $\pi /4<\theta _{0}<\pi /2\,$):

${\vec {a}}(t)=-g{\vec {k}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {r}}(0)={\vec {0}}\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {v}}(0)=v_{0}[\mathrm {cos} (\theta _{0}){\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta _{0}){\vec {k}}\,]$

1. ¿En qué instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t^{*}\,} tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal del proyectil Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a_t(t^{*})=a_n(t^{*})]\,} ?
2. ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante definido en la pregunta anterior?

Instante en el que tienen valores iguales las aceleraciones tangencial y normal

La definición de aceleración instantánea establece que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} }

En el caso que nos ocupa, conocemos el valor inicial de la velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\,(0)\,} del proyectil, y además conocemos su aceleración en todo instante, la cual tiene valor constante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)=-g\vec{k}=\vec{a}\,\,\mathrm{(cte)} }

Determinar la velocidad del proyectil para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t>0\,} se reduce a integrar la aceleración entre el instante inicial y un instante genérico:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lllll} \mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\,\mathrm{d}t & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \displaystyle\int_{\vec{v}(0)}^{\vec{v}(t)}\!\mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\displaystyle\int_{0}^{\, t}\mathrm{d}t & \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\vec{a}\,t \end{array} }

Sustituyendo los valores dados de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(0)\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\,} , obtenemos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)=v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,\vec{\imath}\,\,+\,\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)-g\;\!t\,\right]\vec{k} }

Efectuamos el producto escalar y el producto vectorial de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t)\,} porque sabemos que dichos productos están presentes en las fórmulas de las componentes intrínsecas de la aceleración:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t)=g\left[g\;\!t-v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,\right] \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}(t)\times\vec{a}(t)=g\;\!v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,\vec{\jmath} }

A continuación, igualamos la fórmulas de las aceleraciones tangencial y normal del proyectil para determinar el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t^{*}\,} en el que ambas componentes intrínsecas tienen valores iguales:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t(t^{*})=a_n(t^{*})\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{\vec{v}(t^{*})\cdot\vec{a}(t^{*})}{|\vec{v}(t^{*})|}= \frac{|\vec{v}(t^{*})\times\vec{a}(t^{*})|}{|\vec{v}(t^{*})|}\,\,\,\rightarrow\,\,\, g\left[g\;\!t^{*}-v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)\,\right]=g\;\!v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0) \,\,\,\rightarrow\,\,\, t^{*}=\displaystyle\frac{v_0}{g}\,[\;\!\mathrm{sen}(\theta_0)\,+\,\mathrm{cos}(\theta_0)\;\!] }

Radio de curvatura de la trayectoria en el instante propuesto

Evaluamos la velocidad y la celeridad del proyectil en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t^{*}\,} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(t^{*})=v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,\vec{\imath}\,\,+\,\left[v_0\,\mathrm{sen}(\theta_0)-g\;\!t^{*}\,\right]\vec{k}=v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)\,(\vec{\imath}-\vec{k})\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,|\vec{v}(t^{*})|=\sqrt{2}\,v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0) }

El radio de curvatura de la trayectoria del proyectil en el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t^{*}\,} puede calcularse a partir de su velocidad y su aceleración en dicho instante mediante la fórmula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa}(t^{*})=\frac{|\vec{v}(t^{*})|^3}{|\vec{v}(t^{*})\times\vec{a}(t^{*})|} }

Así que, sustituyendo en dicha fórmula los valores previamente determinados, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa}(t^{*})=\frac{2\sqrt{2}\,v_0^3\,\mathrm{cos}^3(\theta_0)}{g\;\!v_0\,\mathrm{cos}(\theta_0)}=\frac{2\sqrt{2}\,v_0^2}{g}\,\mathrm{cos}^2(\theta_0) }