Enunciado
Un punto material se mueve con ecuación horaria:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t)=12A\,\mbox{sen}(\omega t)\,\vec{\imath}+5A\,\mbox{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}+13A\,\mbox{cos}(\omega t)\,\vec{k}}
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\,}
y 
son constantes conocidas.
- Determine la ley horaria
suponiendo que 
.
- Determine el triedro de Frenet y el radio de curvatura en cada instante.
- Identifique el tipo de movimiento.
Velocidad, celeridad y ley horaria
Derivando una vez el vector de posición respecto al tiempo, obtenemos el vector velocidad:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\omega A\left[12\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+5\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\jmath}-13\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{k}\,\right]}
Y tomando módulo, calculamos la celeridad:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=|\vec{v}\,|=\omega A\sqrt{144\,\mbox{cos}^2(\omega t)+25\,\mbox{cos}^2(\omega t)+169\,\mbox{sen}^2(\omega t)}=\omega A\sqrt{169\,\left[\mbox{cos}^2(\omega t)+\mbox{sen}^2(\omega t)\right]}=13\,\omega A}
Para deducir la ley horaria, basta recordar que la celeridad es precisamente la derivada temporal del parámetro arco:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v=13\,\omega A\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\, \mathrm{d}s=13\,\omega A\,\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\,\int_{s(0)}^{s(t)}\!\mathrm{d}s=13\,\omega A\,\int_{0}^{t}\!\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\, s(t)=13\,\omega A\, t}
Al ser la celeridad de la partícula constante, se trata de un movimiento uniforme.
Aceleración y sus componentes intrínsecas
Derivando respecto al tiempo el vector velocidad, obtenemos el vector aceleración:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-\omega^2\! A\left[12\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\imath}+5\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}+13\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{k}\right]}
Al tratarse de un movimiento uniforme, la aceleración tangencial es nula:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=\dot{v}=\frac{\mathrm{d}(13\,\omega A)}{\mathrm{d}t}=0}
y entonces la aceleración normal (siempre positiva) coincide con el módulo del vector aceleración:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,\vec{a}_n=\vec{a}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\, a_n=|\vec{a}\,|=13\,\omega^2\! A }
Triedro de Frenet
Obtenemos el vector tangente como un vector unitario en la dirección de la velocidad:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}\,|}=\frac{12}{13}\,\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\imath}+\frac{5}{13}\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{\jmath}-\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{k}}
Dado que sabemos que toda la aceleración es normal (no existe componente tangencial), obtenemos el vector normal simplemente normalizando el vector aceleración:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}\,|}=-\frac{12}{13}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\imath}-\frac{5}{13}\,\mathrm{sen}(\omega t)\,\vec{\jmath}-\mathrm{cos}(\omega t)\,\vec{k} }
Por último, conocidos el vector tangente y el vector normal, hallamos el vector binormal como producto vectorial de ambos:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}=\vec{T}\times\vec{N} = -\frac{5}{13}\,\vec{\imath}+\frac{12}{13}\,\vec{\jmath}}
Vemos que resulta un vector binormal constante y, por tanto, podemos asegurar que la trayectoria es plana.
Nótese que otro procedimiento posible habría sido determinar primero el vector binormal normalizando el producto vectorial de velocidad por aceleración, y después calcular el vector normal como producto vectorial del binormal por el tangente.
Radio de curvatura
Hallamos el radio de curvatura a partir de la celeridad y la aceleración normal:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\kappa} = \frac{v^2}{a_n} = \frac{169\,\omega^2\! A^2}{13\,\omega^2\! A}=13\, A}
Obsérvese que el radio de curvatura resulta ser constante.
Identificación del movimiento
Puesto que la trayectoria es plana (vector binormal constante) y el radio de curvatura es constante, llegamos a la conclusión de que se trata de un movimiento circular. Es más, dado que la rapidez es constante, podemos asegurar que el movimiento es circular uniforme.
