No Boletín - Identificación de movimiento (Ex.Nov/10)

Enunciado

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

{\vec {r}}(t)=A\cos ^{2}(\omega t){\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t){\vec {\jmath }}+2A\cos ^{2}(\omega t){\vec {k}}

¿Qué trayectoria sigue la partícula?
Determine la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} . Suponga que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(0)=0} .
¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

Trayectoria

Método 1: Ecuaciones implícitas

La forma más directa de identificar la trayectoria consiste en buscar ecuaciones implícitas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x,y,z) = 0\,\,;\qquad\qquad g(x,y,z)=0}

que sean satisfechas por la posición instantánea en todo momento.

Separando en componentes tenemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = A\cos^2(\omega t)\,\,;} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=A\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\,\,;} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=2A\cos^2(\omega t)\,}

De aquí es inmediato que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z= 2x\,} ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2x -z = 0\,}

que es la ecuación de un plano, por lo que, por lo pronto, la trayectoria es plana.

Además, se verifica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x + y = A\cos^2(\omega t) + A\,\mathrm{sen}^2(\omega t) = A}

con lo que la trayectoria está también contenida en el plano

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x + y = A\,}

Al estar la trayectoria contenida en la intersección de dos planos, llegamos a la conclusión de que el movimiento es rectilíneo, siendo su trayectoria la recta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r:\left\{\begin{matrix} 2x - z = 0 \\ x + y = A \end{matrix}\right.}

Método 2: Vector tangente

Un procedimiento sistemático para determinar si un movimiento es rectilíneo consiste en determinar el vector tangente a la trayectoria y ver si éste es constante.

Hallamos este vector tangente calculando previamente la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+2A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{\jmath}-4A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}=}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)}

y dividiendo por su módulo, la celeridad,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}| = 2A\omega \cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\sqrt{1+1+4}=2\sqrt{6}A\omega \cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)}

lo que nos da el vector tangente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=-\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\imath}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\jmath}-\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{k}}

Este vector es constante y por tanto el movimiento es rectilíneo. La ecuación de la recta la obtenemos a partir de la posición inicial y empleando este vector tangente como vector director

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s \vec{T} = A\vec{\imath}+2A\vec{k}+s\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\imath}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\jmath}-\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{k}\right)}

o, separando en componentes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r:\left\{\begin{array}{l} x = A - s/\sqrt{6} \\ y = s/\sqrt{6} \\ z = 2A -2s/\sqrt{6}\end{array}\right.}

Método 3: Relaciones trigonométricas

La trayectoria de la partícula también puede identificarse con ayuda de las relaciones trigonométricas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos^2(\omega t) = \frac{1+\cos(2\omega t)}{2}\,\,;} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}^2(\omega t) = \frac{1-\cos(2\omega t)}{2}}

que permiten expresar la posición instantánea como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t)= \frac{A}{2}(1+\cos(2\omega t))\vec{\imath}+\frac{A}{2}(1-\cos(2\omega t))\vec{\jmath}+A(1+\cos(2\omega t))\vec{k}}

Este vector se puede desglosar en la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \left(\frac{A}{2}\vec{\imath}+\frac{A}{2}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)+\frac{A\cos(2\omega t)}{2}\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\right) = \vec{G}+f(t)\vec{H}}

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{G}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{H}} dos vectores constantes. Dado que la dependencia con el tiempo queda solo en el coeficiente escalar de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{H}} , es claro que la trayectoria es rectilínea según la recta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(\theta) = \vec{G}+\theta\vec{H}}

Ley horaria

Para hallar la ley horaria, primero calculamos la velocidad, que ya vimos anteriormente,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)}

y hallamos su módulo, la celeridad,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}| = 2\sqrt{6}A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)}

Esta cantidad es igual a la derivada del parámetro arco respecto al tiempo.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=2\sqrt{6}A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t) = \sqrt{6}A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)}

Calculamos la la ley horaria integrando esta expresión

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = \int_0^t \sqrt{6}A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{6}A}{2}\left(1-\cos(2\omega t)\right)}

En rigor, el módulo de la velocidad, que es una cantidad siempre positiva es solo igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{s}} para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 < 2\omega t < \pi} , en la cual el seno es positivo. Podemos extender no obstante el resultado a cualquier valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} considerando que el valor del parámetro arco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s} en cada punto de la trayectoria es igual al valor para este primer semiperiodo, y admitir que para el resto del tiempo, lo que hace la partícula es moverse adelante y atrás, aumentando y disminuyendo el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s} , pudiendo ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{s}} , la velocidad del movimiento rectilíneo, una cantidad tanto positiva como negativa.

Identificación del movimiento

Hemos determinado que el movimiento que sigue la partícula

Es rectilíneo
Sigue la ley horaria

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = \frac{\sqrt{6}A}{2}-\frac{\sqrt{6}A}{2}\cos(2\omega T)}

Podemos por ello concluir que la partícula describe un movimiento armónico simple alrededor del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s_c = \sqrt{6}A/2} , con amplitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{6}A/2} y frecuencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\omega} .

Vectorialmente las ecuaciones horarias pueden escribirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \left(\frac{A}{2}\vec{\imath}+\frac{A}{2}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)+\cos(2\omega t)\left(\frac{A}{2}\vec{\imath}-\frac{A}{2}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)}

que nos permite identificar el centro del movimiento como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = \frac{A}{2}\vec{\imath}+\frac{A}{2}\vec{\jmath}+A\vec{k}}

y la amplitud vectorial como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}=\frac{A}{2}\vec{\imath}-\frac{A}{2}\vec{\jmath}+A\vec{k}}

entendiendo que el módulo de este vector nos da la amplitud de las oscilaciones y su dirección nos da la dirección del movimiento oscilatorio.

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