No Boletín - Identificación de movimiento (Ex.Nov/10)

Enunciado

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

${\vec {r}}(t)=A\cos ^{2}(\omega t){\vec {\imath }}+A\,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t){\vec {\jmath }}+2A\cos ^{2}(\omega t){\vec {k}}$

1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
2. Determine la ley horaria $s(t)$. Suponga que $s(0)=0$.
3. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

Trayectoria

Método 1: Ecuaciones implícitas

La forma más directa de identificar la trayectoria consiste en buscar ecuaciones implícitas

$f(x,y,z)=0\,\,;\qquad \qquad g(x,y,z)=0$

que sean satisfechas por la posición instantánea en todo momento.

Separando en componentes tenemos que

$x=A\cos ^{2}(\omega t)\,\,;$    $y=A\,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)\,\,;$    $z=2A\cos ^{2}(\omega t)\,$

De aquí es inmediato que

$z=2x\,$ ⇒  $2x-z=0\,$

que es la ecuación de un plano, por lo que, por lo pronto, la trayectoria es plana.

Además, se verifica

$x+y=A\cos ^{2}(\omega t)+A\,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)=A$

con lo que la trayectoria está también contenida en el plano

$x+y=A\,$

Al estar la trayectoria contenida en la intersección de dos planos, llegamos a la conclusión de que el movimiento es rectilíneo, siendo su trayectoria la recta

$r:\left\{{\begin{matrix}2x-z=0\\x+y=A\end{matrix}}\right.$

Método 2: Vector tangente

Un procedimiento sistemático para determinar si un movimiento es rectilíneo consiste en determinar el vector tangente a la trayectoria y ver si éste es constante.

Hallamos este vector tangente calculando previamente la velocidad

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=-2A\omega \cos(\omega t)\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\imath }}+2A\omega \,\mathrm {sen} (\omega t)\cos(\omega t){\vec {\jmath }}-4A\omega \cos(\omega t)\mathrm {sen} (\omega t){\vec {k}}=$

$=2A\omega \cos(\omega t)\mathrm {sen} (\omega t)\left(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2{\vec {k}}\right)$

y dividiendo por su módulo, la celeridad,

$|{\vec {v}}|=2A\omega \cos(\omega t)\mathrm {sen} (\omega t){\sqrt {1+1+4}}=2{\sqrt {6}}A\omega \cos(\omega t)\mathrm {sen} (\omega t)$

lo que nos da el vector tangente

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{v}}=-{\frac {1}{\sqrt {6}}}{\vec {\imath }}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}{\vec {\jmath }}-{\frac {2}{\sqrt {6}}}{\vec {k}}$

Este vector es constante y por tanto el movimiento es rectilíneo. La ecuación de la recta la obtenemos a partir de la posición inicial y empleando este vector tangente como vector director

${\vec {r}}(s)={\vec {r}}_{0}+s{\vec {T}}=A{\vec {\imath }}+2A{\vec {k}}+s\left(-{\frac {1}{\sqrt {6}}}{\vec {\imath }}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}{\vec {\jmath }}-{\frac {2}{\sqrt {6}}}{\vec {k}}\right)$

o, separando en componentes

$r:\left\{{\begin{matrix}{l}x=A-s/{\sqrt {6}}\\y=s/{\sqrt {6}}\\z=2A-2s/{\sqrt {6}}\end{matrix}}\right.$

Método 3: Relaciones trigonométricas

La trayectoria de la partícula también puede identificarse con ayuda de las relaciones trigonométricas

$\cos ^{2}(\omega t)={\frac {1+\cos(2\omega t)}{2}}$    $\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)={\frac {1-\cos(2\omega t)}{2}}$

que permiten expresar la posición instantánea como

${\vec {r}}(t)={\frac {A}{2}}(1+\cos(2\omega t)){\vec {\imath }}+{\frac {A}{2}}(1-\cos(2\omega t)){\vec {\jmath }}+A(1+\cos(2\omega t)){\vec {k}}$

Este vector se puede desglosar en la forma

${\vec {r}}(t)=\left({\frac {A}{2}}{\vec {\imath }}+{\frac {A}{2}}{\vec {\jmath }}+A{\vec {k}}\right)+{\frac {A\cos(2\omega t)}{2}}\left({\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}+2{\vec {k}}\right)={\vec {G}}+f(t){\vec {H}}$

siendo ${\vec {G}}$ y ${\vec {H}}$ dos vectores constantes. Dado que la dependencia con el tiempo queda solo en el coeficiente escalar de ${\vec {H}}$, es claro que la trayectoria es rectilínea según la recta

${\vec {r}}(\theta )={\vec {G}}+\theta {\vec {H}}$

Ley horaria

Para hallar la ley horaria, primero calculamos la velocidad, que ya vimos anteriormente,

${\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=2A\omega \cos(\omega t)\mathrm {sen} (\omega t)\left(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}-2{\vec {k}}\right)$

y hallamos su módulo, la celeridad,

$|{\vec {v}}|=2{\sqrt {6}}A\omega \cos(\omega t)\mathrm {sen} (\omega t)$

Esta cantidad es igual a la derivada del parámetro arco respecto al tiempo.

${\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=2{\sqrt {6}}A\omega \cos(\omega t)\mathrm {sen} (\omega t)={\sqrt {6}}A\omega \,\mathrm {sen} (2\omega t)$

Calculamos la la ley horaria integrando esta expresión

$s(t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {6}}A\omega \,\mathrm {sen} (2\omega t)\mathrm {d} t={\frac {{\sqrt {6}}A}{2}}\left(1-\cos(2\omega t)\right)$

En rigor, el módulo de la velocidad, que es una cantidad siempre positiva es solo igual a ${\dot {s}}$ para $0<2\omega t<\pi$, en la cual el seno es positivo. Podemos extender no obstante el resultado a cualquier valor de $t$ considerando que el valor del parámetro arco $s$ en cada punto de la trayectoria es igual al valor para este primer semiperiodo, y admitir que para el resto del tiempo, lo que hace la partícula es moverse adelante y atrás, aumentando y disminuyendo el valor de $s$, pudiendo ser ${\dot {s}}$, la velocidad del movimiento rectilíneo, una cantidad tanto positiva como negativa.

Identificación del movimiento

Hemos determinado que el movimiento que sigue la partícula

• Es rectilíneo
• Sigue la ley horaria

$s(t)={\frac {{\sqrt {6}}A}{2}}-{\frac {{\sqrt {6}}A}{2}}\cos(2\omega T)$

Podemos por ello concluir que la partícula describe un movimiento armónico simple alrededor del punto $s_{c}={\sqrt {6}}A/2$, con amplitud ${\sqrt {6}}A/2$ y frecuencia $2\omega$.

Vectorialmente las ecuaciones horarias pueden escribirse

${\vec {r}}(t)=\left({\frac {A}{2}}{\vec {\imath }}+{\frac {A}{2}}{\vec {\jmath }}+A{\vec {k}}\right)+\cos(2\omega t)\left({\frac {A}{2}}{\vec {\imath }}-{\frac {A}{2}}{\vec {\jmath }}+A{\vec {k}}\right)$

que nos permite identificar el centro del movimiento como

${\vec {r}}_{c}={\frac {A}{2}}{\vec {\imath }}+{\frac {A}{2}}{\vec {\jmath }}+A{\vec {k}}$

y la amplitud vectorial como

${\vec {A}}={\frac {A}{2}}{\vec {\imath }}-{\frac {A}{2}}{\vec {\jmath }}+A{\vec {k}}$

entendiendo que el módulo de este vector nos da la amplitud de las oscilaciones y su dirección nos da la dirección del movimiento oscilatorio.