Enunciado

Una partícula describe una curva cuya ecuación en coordenadas polares es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho = A\cos(\Omega t)\qquad\qquad \theta = \Omega t}
  1. Calcule la velocidad y la aceleración en cada instante.
  2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración para todo .
  3. Calcule el radio y el centro de curvatura en todo momento.
  4. ¿De qué tipo de movimiento se trata?

Velocidad y aceleración

Velocidad

La expresión de la velocidad empleando coordenadas polares es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho + \rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta}

donde, en este caso

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho = A\cos(\Omega t)\qquad\dot{\rho}\equiv\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=-\Omega A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad\theta = \Omega t\qquad \dot{\theta}\equiv\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\Omega}

que, sustituyendo nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\Omega A\left(-\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\rho+\cos(\Omega t)\vec{u}_\theta\right)}

Aceleración

La expresión correspondiente para la aceleración es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right)\vec{u}_\rho + \left(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}\right)\vec{u}_\theta}

siendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\rho}=-\Omega^2 A\cos(\Omega t)\qquad\qquad \ddot{\theta}=0}

lo que nos da la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}= -2\Omega^2 A\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho-2\Omega^2 A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta}

Componentes intrínsecas

Tangencial

Una vez que tenemos la velocidad y la aceleración podemos hallar la aceleración tangencial algebraicamente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = \frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}}

o bien a partir de la rapidez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = \frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}}

Para emplear el segundo método, calculamos en primer lugar la rapidez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{(-\Omega A\,\mathrm{sen}(\Omega t))^2+(\Omega A\cos(\Omega t))^2}=\Omega A}

El movimiento es entonces uniforme y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Omega A) = 0}

Algebraicamente puede verse que la velocidad y la aceleración son ortogonales en todo momento, y por tanto se anula la componente tangencial.

Normal

Si la aceleración tangencial es nula, la aceleración normal es toda la que hay

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n = \vec{a}-\overbrace{\vec{a}_t}^{=\vec{0}} = -2\Omega^2 A\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho-2\Omega^2 A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta}

En módulo la aceleración normal vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n = \sqrt{\vec{a}_n\cdot\vec{a}_n}= \sqrt{(2\Omega^2 A\cos(\Omega t))^2+(-2\Omega^2 A\,\mathrm{sen}(\Omega t))^2} = 2\Omega^2A}

Radio y centro de curvatura

Radio de curvatura

Conocidas la aceleración normal y la rapidez, hallamos el radio de curvatura.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n} = \frac{\Omega^2A^2}{2\Omega^2 A}=\frac{A}{2}}

Vemos que resulta un radio de curvatura constante.

Centro de curvatura

El centro de curvatura lo obtenemos a partir del vector de posición, el vector normal y el radio de curvatura

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}}

El vector normal en este caso es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|} = -\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho-\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta}

mientras que el vector de posición viene dado por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r} = \rho\vec{u}_\rho = A\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho}

lo que nos da el centro de curvatura

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = \left(A\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho \right)+\frac{A}{2}\left( -\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho-\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta\right)=\frac{A}{2}\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho-\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta}

Identificación del movimiento

Hemos obtenido que:

  • El movimiento es plano
  • El radio de curvatura es constante
  • La rapidez es constante

Estas tres propiedades identifican el movimiento como circular uniforme. La partícula describe circunferencias a ritmo constante alrededor de un punto fijo que es el centro de curvatura.

A la vista de la expresión del centro de curvatura

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = \frac{A}{2}\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho-\frac{A}{2}\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta}

parecería que este punto es variable en el tiempo. Sin embargo, no es así. Si en lugar de la base vectorial de polares empleamos la de cartesianas, relacionada con la otra por

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rcl} \vec{\imath} & = & \cos(\theta)\vec{u}_\rho-\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\theta \\ \vec{\jmath} & = & \mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho+\cos(\theta)\vec{u}_\theta \end{array}}

vemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = \frac{A}{2}\vec{\imath}}

que es evidentemente un punto fijo.

Conocido el radio y la rapidez, obtenemos la velocidad angular dividiendo una por el otro

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \frac{|\vec{v}|}{R}=\frac{\Omega A}{A/2} = 2\Omega}

Podemos describir la trayectoria sin recurrir a su expresión en cartesianas, observando que en cada instante el vector de posición forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\Omega t} con el eje OX y tiene por módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\cos(\theta)} . Esto quiere decir que se puede considerar un cateto de un triángulo rectángulo de ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} . La hipotenusa de este triángulo mide Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} para todo instante y se encuentra sobre el eje OX.

Ahora bien, según se ve en el estudio del arco capaz si tenemos un triángulo cuya hipotenusa AB es fija y cuyo ángulo en el vértice va variando, el tercer vértice P describe un arco de circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A/2} . El ángulo que forma CP con el eje OX es el doble del del vértice, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta = 2\theta =2\Omega t} .

Vemos entonces que la partícula efectivamente describe una circunferencia con velocidad angular constante, siendo su velocidad angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=2\Omega\vec{k}}

Archivo:Circunferencia-excentrica-02.gif

Esta identificación también se puede hacer empleando coordenadas cartesianas. La ecuación de la trayectoria, en polares, es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho = A\cos(\theta)\,}

Si multiplicamos por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho} en los dos miembros nos queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho^2 = A\rho \cos(\theta)\,}

y esto, en cartesianas, se escribe

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2 +y^2 = A x \,}

o, equivalentemente,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(x-\frac{A}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{A}{2}\right)^2}

que es la ecuación de una circunferencia de centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = (A/2)\vec{\imath}} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A/2} .

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