Evolvente de una circunferencia

Enunciado

La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} donde el hilo deja de hacer contacto con el carrete forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\omega t} con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} . Una partícula material se encuentra en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} situado en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.

1. Determine el vector de posición de la partícula.
2. Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
3. Determine la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s=s(t)} .
4. Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
5. Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.

Vector de posición

Por adición de vectores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}}

El vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}} es radial y forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega t} con el eje $OX$. Su módulo es $A$, el radio del carrete:

${\overrightarrow {OC}}=A\left(\cos(\omega t){\vec {\imath }}+\,\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\jmath }}\right)$

El vector ${\overrightarrow {CP}}$ es tangente a la circunferencia y por tanto perpendicular al radio. Obtenemos el unitario en esta dirección intercambiando las dos componentes del unitario radial y cambiándole el signo a una de ellas. El sentido lo da el que para $\omega t<\pi /2$ la componente X es positiva y la Y es negativa, por tanto

${\frac {\overrightarrow {CP}}{|{\overrightarrow {CP}}|}}=\,\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\imath }}-\cos(\omega t){\vec {\jmath }}$

El módulo de ${\overrightarrow {CP}}$ lo da la cantidad de hilo desenrollado hasta ese momento, igual al producto del radio por el ángulo, $L=A\omega t$

${\overrightarrow {CP}}=A\omega t(\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\imath }}-\cos(\omega t){\vec {\jmath }})$

Sumando los dos vectores obtenemos el vector de posición

${\vec {r}}(t)=A\left(\cos(\omega t)+\omega t\,\mathrm {sen} (\omega t)\right){\vec {\imath }}+A\left(\,\mathrm {sen} (\omega t)-\omega t\cos(\omega t)\right){\vec {\jmath }}$

Velocidad y aceleración

Velocidad

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos

${\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=A\omega ^{2}t\cos(\omega t){\vec {\imath }}+A\omega ^{2}t\,\mathrm {sen} (\omega t){\vec {\jmath }}$

Aceleración

Derivando de nuevo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t) =\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=A\omega^2\left(\cos(\omega t)-\omega t\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+A\omega^2\left(\mathrm{sen}(\omega t)+\omega t\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}}

Ley horaria

La rapidez con que se recorre la curva la da el módulo de la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{s}=|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} = A\omega^2 t}

e integrando esta ecuación obtenemos el parámetro arco como función del tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s = \frac{A\omega^2t^2}{2}}

Triedro de Frenet

Vector tangente

Hallamos el vector unitario tangente normalizando la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=\cos(\omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}}

Obsérvese que el vector unitario tangente resulta paralelo al vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}}

Vector binormal

El vector binormal es inmediato. Puesto que la trayectoria está contenida en el plano OXY, el vector binormal será el unitario perpendicular a dicho plano, por lo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}=+\vec{k}} o Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}=-\vec{k}} . El sentido lo da el que debe ser el del producto vectorial de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} . Tomando un punto del primer cuadrante la velocidad va hacia Y positiva y la aceleración va hacia donde se curva la trayectoria, por lo que debe ser

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}=\vec{k}}

Vector normal

Multiplicando vectorialmente los dos anteriores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\vec{B}\times\vec{T}=-\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{\jmath}}

Radio y centro de curvatura

Podemos hallar el centro y el radio de curvatura directamente a partir de la velocidad y la aceleración. Sin embargo, es más ilustrativo hallar primero las componentes intrínsecas de la aceleración

No necesitamos proyectar sobre los dos vectores unitarios, nos basta con reconocerlos en la expresión de la aceleración y observar que ésta puede escribirse como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}(t) =A\omega^2\left(\cos(\omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}\right)+A\omega^3t\left(-\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{\jmath}\right) = A\omega^2\vec{T}+A\omega^3t\vec{N}}

y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = A\omega^2\,}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n=A\omega^3t\,}

Vemos que, dado que la aceleración tangencial es constante, el movimiento es uniformemente acelerado.

El radio de curvatura lo obtenemos de la velocidad y la aceleración normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{v^2}{a_n}=\frac{A^2\omega^4t^2}{A\omega^3t}=A\omega t}

Vemos que va aumentando gradualmente en el tiempo, como corresponde a que la curva es una espiral que se va abriendo.

La posición de los centros de curvatura es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N} = A\left(\cos(\omega t)+\omega t\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+A\left(\,\mathrm{sen}(\omega t)-\omega t\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}+A\omega t\left(-\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+\cos(\omega t)\vec{\jmath}\right)}

que nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c=A\cos(\omega t)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}}

Pero esta es justamente la posición del punto C. Por tanto, el conjunto de los centros de curvatura (lo que se conoce como evoluta) es la propia circunferencia del carrete.